Теория вероятностей. Остаточное событие.

[demolishka]

Пусть имеется последовательность случайных величин $\xi_k$. Обозначим $\sigma(\xi_n,\xi_{n+1},\ldots)$ наименьшую $\sigma$-алгебру порожденную соответствующими случайными величинами $\xi_n, \xi_{n+1}, \ldots$ (образована конечными пересечениями прообразов борелевских множеств).
Событие $A$ называется остаточным, если $A \in \sigma(\xi_n,\xi_{n+1},\ldots)$ для любого $n$.
Утверждается, что событие, состоящее в том, что ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\xi_k$ сходится, является остаточным. Если использовать интуитивное представление об остаточном событии, то все очевидно - сходимость ряда не зависит от первых членов. Но у меня пока эта интуиция не вяжется с тем, что происходит на деле.
Сходимость ряда $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\xi_k$ равносильна сходимости его хвостов $\sum\limits_{k=N}^{\infty}\xi_k$ к нулю. А последнее событие для всякого $N$ описывается как

$$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n_0=N}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n_0}^{\infty}\{\left|\sum\limits_{s=k}^{\infty}\xi_s \right| < \frac1n\}$$

Событие $\{\left|\sum\limits_{s=k}^{\infty}\xi_s \right| < \frac1n\}$ аналогично сводится к счетным объединениям/пересечениям множеств в условии которых стоят уже конечные суммы $\{\left|\sum\limits_{s=k}^{M}\xi_s \right| < \theta\}$ ($\theta$ - некоторое рациональное). Теперь, если случайные величины целочисленные, то достаточно перебрать всевозможные значения величин $\xi_k, \ldots, \xi_M$, которые дают нужное неравенство и таким образом получим, что событие $A$ - остаточное. Когда случайные величины принимают вещественные значения, то будем перебирать отрезки с рациональными концами значений величин $\{\xi_s \in [p_s;q_s]\}$, такие что $-\theta<\sum p_s \leq \sum q_s < \theta$. Получим $\{\left|\sum\limits_{s=k}^{M}\xi_s \right| < \theta\} = \bigcup \bigcap_{s=k}^{M}\{\xi_s \in [p_s;q_s] \}$, где объединение берется по всем наборам $p_s, \ldots, p_M$ и $q_s, \ldots, q_M$ с оговоренным свойством.
В общем, пока всё это набирал, вопрос уже отпал . Так что задам другой. Можно ли всё это обосновать как-то проще?

[--mS--]

Незачем складывать все яйца в одну корзину. Случайные величины $\xi_k, \xi_{k+1}, \ldots,\xi_M$ измеримы относительно одной и той же сигма-алгебры $\sigma\{\xi_k,\xi_{k+1},\ldots\}\subseteq \sigma\{\xi_N,\xi_{N+1},\ldots\}$. И модуль их суммы тоже измерим относительно неё же. Поэтому событие $\left\{\left|\sum\limits_{s=k}^M\xi_s\right|<\frac1n\right\}$ принадлежит этой сигма-алгебре, а значит, и $\sigma\{\xi_N,\xi_{N+1},\ldots\}$.

(Это Вы и без меня знаете)

Измеримость суммы с.в.:

$$\{\xi + \eta < x\}=\{\xi < x- \eta\}=\bigcup_{q\in\mathbb Q}\{\xi<q\}\cap\{q<x-\eta\}\in \sigma\{\xi,\, \eta\}.$$

[demolishka]

Да, действительно. Непрерывная функция от измеримых случайных величин, тоже измеримая случайная величина.
Спасибо Вам за помощь.