корректна ли запись

[Таня Тайс]

Предположим, у нас есть множество гомоморфизмов, на котором задано отношение эквивалентности, и мы рассматриваем множество классов эквивалентности.
Каждый элемент из множества классов эквивалентности это $[f]$, где $f\colon X \to Y, \; f(x)=y$.
Правильно ли будет написать вместо $[f] $ например $[y]$. или, что ещё "хуже" $[f(x)]$.
Мои сокурсники утверждают, что запись $[y]$ верна, а $[f(x)]$ нет. Я не вижу разницы.
Может ли кто-нибудь пролить свет на ситуацию? Заранее спасибо.

[Brukvalub]

Мне кажется, что обе записи допустимы, поскольку обе они сообщают одно и то же: отношение эквивалентности на множестве гомоморфизмов индуцирует соответствующее отношение эквивалентности на общем образе всех этих гомоморфизмов (надеюсь, что речь идет о множестве гомоморфизмов, которые имеют общую область определения и общее множество значений?)

[maxal]

На самом деле непонятки уже с этой записью: $f\colon X \to Y, \; f(x)=y$.
Что это означает? Что $x$ какой-то (фиксированный) элемент $X$, а $y$ - его образ?

А вообще я бы избегал записей $[y]$ и $[f(x)]$, потому как формально говоря $y$ и $f(x)$ - это элементы $Y$ (по крайней мере я так понял с ваших слов), с гомоморфизмами напрямую не связанные. Запись вида $[f]$ или $[f(\cdot)]$ в этом плане куда предпочтительнее, так как не допускает разночтений.

[bot]

Что-то мне обе записи не нравятся. О какой эквивалентности речь, о произвольной или о конретной? Если о произвольной, то зачем гомоморфизмы? Пусть будет просто множество F, а на нём задано отношение эквивалентности, Тогда обозначение [f] - одно из стандартных обозначений класса эквивалентности, содержащего элемент f.
Если же о конкретной и это Вы пытались выразить это вот так $f\colon X \to Y, \; f(x)=y$, то я ничего не понимаю.
Это что-то типа такого? Берём произвольный y из общего образа всех гомоморфизмов и собираем в один класс все гомоморфизмы, которые имеют этот y в качестве образа некоторого элемента ( у каждого, быть может, своего)?
Ну тогда это уже нестандартное обозначение, но [f(x)] и [y] при f(x)=y будет означать одно и то же.
Впрочем гомоморфизмы здесь тоже всуе помянуты - просто бы отображения.

[Профессор Снэйп]

Кстати, действительно, вопрос автору темы: что там за множества (скорее даже не множества, а модели, раз о гомоморфизмах речь идёт) $X$ и $Y$ и как эквивалентность задаётся?

[Brukvalub]

maxal писал(а):

На самом деле непонятки уже с этой записью: $f\colon X \to Y, \; f(x)=y$.
Что это означает? Что $x$ какой-то (фиксированный) элемент $X$, а $y$ - его образ?

А Вы знаете еще какой-то другой смысл такой записи

maxal писал(а):

А вообще я бы избегал записей $[y]$ и $[f(x)]$, потому как формально говоря $y$ и $f(x)$ - это элементы $Y$ (по крайней мере я так понял с ваших слов), с гомоморфизмами напрямую не связанные. Запись вида $[f]$ или $[f(\cdot)]$ в этом плане куда предпочтительнее, так как не допускает разночтений.

Brukvalub писал(а):

отношение эквивалентности на множестве гомоморфизмов индуцирует соответствующее отношение эквивалентности на общем образе всех этих гомоморфизмов

bot писал(а):

Берём произвольный y из общего образа всех гомоморфизмов и собираем в один класс все гомоморфизмы, которые имеют этот y в качестве образа некоторого элемента ( у каждого, быть может, своего)?

А разве отношение эквивалентности отображений одного фиксированного множества на другое не индуцирует естественное отношение элементов образа: два элемента в образе эквивалентны, если и только если они являются образами фиксированного элемента для двух эквивалентных отображений? Я считал, что обсуждается обозначение для этого индуцированного отношения эквивалентности на образе и писал именно о его обозначении.

[RIP]

А я так понял, что подразумевается, что обозначения $[y]$ и $[f(x)]$ означают то же самое, что и $[f]$, т.е. класс эквивалентности гомоморфизмов. Если это так, то лично я не вижу ничего плохого в записи $[f(x)]$ (просто фиксировали имя переменной $x$), а вот употребление $[y]$ вместо $[f]$, по-моему, неудачно. Правда я не понимаю, зачем в таком случае вообще писать вместо $[f]$ что-то ещё.

[Таня Тайс]

Спасибо огромное всем!!!

Brukvalub писал(а):

(надеюсь, что речь идет о множестве гомоморфизмов, которые имеют общую область определения и общее множество значений?)

Да, гомоморфизмы имеют общие область определения
и область значения.

maxal писал(а):

Что какой-то (фиксированный) элемент , а - его образ?

x - переменная, какой-то любой элемент, а y -его образ.

bot писал(а):

О какой эквивалентности речь, о произвольной или о конретной?

о конкрктной эквивалентности

bot писал(а):

Берём произвольный y из общего образа всех гомоморфизмов и собираем в один класс все гомоморфизмы, которые имеют этот y в качестве образа некоторого элемента ( у каждого, быть может, своего)?

Мне кажется, где-то здесь ответ на мой вопрос. Но ведь отношение эквивалентности задано на множесте гомоморфизмов, даже не на X, и все гомоморфизмы (отображения, если угодно), имеют любой y в качесте образа некоторого элемента.

Профессор Снэйп писал(а):

как эквивалентность задаётся?

Разве невозможен ответ без знания отн. эквивал.?
Имеется в виду 1-я группа когомологий,
два коцикла эквивалентны, если они отличаются на кограницу.
Я хотела упростить ситуацию, но теперь сомневаюсь, правильно ли я её "упростила".

Добавлено спустя 40 минут 17 секунд:

Подробности:
Множества $X, Y$ это некоммутативные группы,
$X$ действует на $Y$
Рассматриваются не все гомоморфизмы $f \colon X \to Y$, а только такие, для которых верно $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})*x_{1}(f(x_{2})), так называемые скрещенные гомоморфизмы, или коциклы.
Для всех скрещенных гомоморфизмов задано отношение эквивалентности
$f \backsim g \Leftrightarrow \exists \, y \in Y, \;f(x)=y^{-1}*x(y)*g(x)$
Если я рассматриваю $ f\colon x \mapsto y$, то удобнее вместо $[f]$ писать $[y]$ или $[y_{x}]$.
Я до сей поры старательно избегала нестандартных обозначений.
Но тогда записи очень громоздки.
Будет ли стандартным обозначение $[y_{x}]$?
Вся информация о $f$ здесь сохранена.

Добавлено спустя 1 час 3 минуты 4 секунды:

maxal писал(а):

А вообще я бы избегал записей $[y]$ и $[f(x)]$, потому как формально говоря $y$ и $f(x)$ - это элементы $Y$ (по крайней мере я так понял с ваших слов), с гомоморфизмами напрямую не связанные. Запись вида $[f]$ или $[f(\cdot)]$ в этом плане куда предпочтительнее, так как не допускает разночтений.

Вот почему все начинают нервничать, если я пишу $[f(x)]$
Спасибо ВСЕМ за разъяснения!
Буду писать $[y_{x}].

[bot]

Таня Тайс писал(а):

Подробности:
Множества $X, Y$ это некоммутативные группы,
$X$ действует на $Y$

Как именно действует, видимо несущественно?

Цитата:

Рассматриваются не все гомоморфизмы $f \colon X \to Y$, а только такие, для которых верно ...

Странные однако гомоморфизмы. Звёздочка - это видимо умножение, вот только где? Первый сомножитель лежит в Y, а где второй? ... Ага, понял - X как-то действует на Y, стало быть $x_{1}(f(x_{2})) - результат действия x_{1} на $(f(x_{2}), Я бы записал иначе, без звёздочки, а действие изобразил бы показателем - обычное дело в теории групп:

$f(x_1x_2)=f(x_1)f(x_2)^{x_1}$

Но ведь это не гомоморфизм на Y (за исключением тождественного действия) - что-то тут напоминает сплетение, но не совсем оно, вспоминать надо давно сданный кандминимум ... , хотя скорее всего это мимо кассы.
Ладно, пусть заданы эдакие специальные "скрещённые" отображения, удовлетворяющие означенному свойству.

Цитата:

Для всех скрещенных гомоморфизмов задано отношение эквивалентности
$f \backsim g \Leftrightarrow \exists \, y \in Y, \;f(x)=y^{-1}*x(y)*g(x)$

Перепишу, чтобы посмотреть:
$f \backsim g \Leftrightarrow \exists \, y \in Y, \;yf(x)=y^xg(x)$

Хм, видимо это очень хорошее действие, рефлексивность и симметричность пропускаю (вроде естественные свойства действия возникают), а с транзитивностью совсем не заладилось - в одном месте пусть найдётся один y, а в другом совсем даже и не y, а, скажем, z... Возможно это преодолимо - для простоты надо перейти в показатели - там групповое кольцо возникает и естественное свойство действия отыщется - возможно все эти мои непонятки оговорены в определениях.

Видите, я старательно пытался понять, о чём речь, чтобы из контекста выловить суть вопроса, а Вы пишете:

Цитата:

Если я рассматриваю $ f\colon x \mapsto y$

Но ведь это ровно то, с чего Вы начали!

[Таня Тайс]

bot писал(а):

Как именно действует, видимо несущественно?

Если хотите, слева (или справа). А как она ещё может действовать?
У меня не было теории групп, читала сама в книгах, наверное, недостаточно.

bot писал(а):

Но ведь это не гомоморфизм на Y (за исключением тождественного действия)

Согласна. "Скрещенный гомоморфизм"-не могу сейчас вспомнить,
где я встречала этот термин, и даже выписала его себе в тетрадь.

bot писал(а):

Хм, видимо это очень хорошее действие, рефлексивность и симметричность пропускаю (вроде естественные свойства действия возникают), а с транзитивностью совсем не заладилось - в одном месте пусть найдётся один y, а в другом совсем даже и не y, а, скажем, z... Возможно это преодолимо

К стыду своему сказать, я даже не проверяла, а просто прочитала
у Серра в книге "Когомологии галуа", на стр.62, и поверила сразу.
Очень трудно разобраться, мне изо всей этой теории только одна лемма нужна, но пришлось всё читать.
А на мой вопрос (простой) Вы уже ответили, спасибо!