Классификация геометрий

[arseniiv]

shkolnik в сообщении #1047780 писал(а):

Буду ему благодарен, если он скажет больше.

Давайте я попробую. Что изучает каждая из геометрий? Обычно это какой-то вид пространств*, всякие гомоморфизмы между ними и что-нибудь остальное. Пока будем считать, что определяют всё пространства*, т. к. набор гомоморфизмов задаётся ими однозначно, а что-нибудь остальное временно отбросим. Пространством* здесь назовём множество с какой-то структурой. Метрика там, скалярное произведение, норма и т. п. в разных комбинациях. При этом если одна геометрия изучает пространства* вида $(M, A)$, а другая — вида $(M, A, B)$, то, очевидно, что вторая — раздел первой (а также может совпадать с первой, если по всякому $A$ $B$ определяется однозначно). И тому подобное. И не обязательно получится интересные связи выразить с помощью одной только диаграммы Эйлера—Венна, которая у вас какая-то странная, или я её просто не должным образом понимаю.

-- Вт авг 25, 2015 22:21:28 --

Например, евклидово аффинное пространство — это всегда метрическое пространство (т. н. естественная метрика восстанавливается по скалярному произведению, определённому на соответствующем линейном), а у вас не всегда. Вот просто аффинное как раз без метрики.

[Brukvalub]

shkolnik в сообщении #1047760 писал(а):

лучше не подступаться к этой задача вообще

Золотые слова!

[Munin]

Классификаций геометрий несколько, поскольку эти области математики развивались на протяжении многих лет.

Точка зрения примерно конца 19 - начала 20 века:



Здесь геометрии классифицируются по набору аксиом.

Частный случай, обнаруженный примерно тогда же:



привёл к концепции кривизны пространства.

А современная точка зрения, с середины 20 века, примерно такая:



Здесь геометрии классифицируются по набору структур, на них введённых.

[Sicker]

(Оффтоп)

shkolnik тихо ушел курить...

[Brukvalub]

Один из самых успешных подходов к классификации геометрий был предложен Ф. Клейном в его знаменитой Эрлангенской программе.
Из недавних локальных классификаций геометрий прорывной считается выдвинутая У. Тёрстоном и доказанная Г. Перельманом гипотеза о геометризации.
Эти и подобные им примеры показывают, что нет единого подхода к "классификации" геометрий, и поиск такого подхода вряд ли имеет перспективы.
А рисование картинок, подобных картинкам Munin - это зачем? Как в них отражена, например, метрическая геометрия в духе Громова, пространства переменной кривизны и т.п.?

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1047819 писал(а):

А рисование картинок, подобных картинкам Munin - это зачем? Как в них отражена, например, метрическая геометрия в духе Громова, пространства переменной кривизны и т.п.?

Пространства переменной кривизны - на третьей картинке в левой колонке.

А Клейн, извините, на несколько десятилетий устарел по сравнению с Бурбаками.

[Brukvalub]

Munin, а где на картинке топологические многообразия, где объекты тропической геометрии, объекты метрической геометрии по М. Громову и т.п.?

[Munin]

Не поместились. Понятно, что там можно написать десятки названий, но насколько это будет полезно?.. Я, например, фамилию Громова слышал только от вас, только что.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1047882 писал(а):

Я, например, фамилию Громова слышал только от вас, только что.

Странно.. Михаил Громов, родившийся и получивший образование в СССР, ныне живущий во Франции, лауреат Абелевской премии, является одним из самых известных специалистов по современной геометрии. Его работы были революционными и заложили новые направления сразу в нескольких областях геометрии, теории групп, мат. физики.
Не знать про такого специалиста?

[Sonic86]

(про Громова)

Мне умные дяди рассказывали, что Громов - автор такого хорошего понятия как "гиперболическая группа". См. https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_group
Книжка: Гис Э. де ля Арп П. Гиперболические группы по Михаилу Громову 1992

[AlexDem]

А насколько интересен такой взгляд: сперва скажем, что некая элементарная геометрия изучает изометрии, т.е. преобразования метрического пространства, сохраняющие расстояния. Потом отметим, что существуют более общие понятия псевдометрики, квазиметрики и др. и будем изучать уже сохраняющие их преобразования в рамках соответствующего подраздела некой общей геометрии.

[Munin]

Дело в том, что большинство геометрических структур на метрику не похожи вообще. Так что вы охватите только очень малую часть геометрий.

[Алексей К.]

shkolnik,

давайте, к примеру, проклассифицируем культуры, потом яблоки, и потом уж геометрии.

Главный мой тезис состоит типа в следующем: люди, присваивая определения наблюдаемым явлениям, достойным своего именования, использовали для некоторых из них слово "геометрия". Но это не повод для того, чтобы наводить классификацию для всех словосочетаний, содержащих это слово.

Дифференциальную геометрию кто-то мог сдуру назвать чем-то вроде "исчисление многообразий", --- и только от этого (!) мы бы не включали её в нашу классификацию. Но включили бы, например, "историческую геометрию России", если бы, соответственно...

Будем культуры классифицировать?
Культура индейцев майя.
Культура потребления спиртных напитков.
Культура земледелия.
Культурный человек любит классическую музыку (Шнитке? Бетховен? оба?).
Культурный человек не бросает бычки на землю.

Яблоки --- простейший пример, с ними всё просто. Чтобы не выискивать классификацию для яблок сорта антоновка, ранет, райских яблочек, глазного яблока, мы легко и естественно ограничим предмет классификации, например, принадлежностью к ботанике.

Казалось бы, и с геометриями так же можно поступить --- принадлежность всех вышеупомянутых "геометрий" к математике --- достаточный повод для затребовывания "классификации".

Нет, это, по-видимому, не так. И внутри математики существуют "райские геометрии" и "глазные геометрии", сувать которые в одну "классификацию" было бы бессмысленно. Вот с выделения групп словосочетаний, внутри которых уместно наводить классификацию, и следовало бы начать. Не забыть бы о тех, в которые слово "геометрия" забыли впендюрить.

У меня на это ума не хватит. Но уверен, что классифицировать словосочетания, содержащие слово "геометрия" --- затея не особо осмысленная.

[AlexDem]

Munin, приведите, пожалуйста, пример - мне хотелось бы рассмотреть.

[Munin]

Ну например, аффинная связность.