Уравнение в частных производных

[Maik2013]

Здравствуйте, помогите разобраться!

Дано

$$\dfrac{\partial \theta}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 \theta}{\partial x^2}+\beta(1-y)^{n}\Gamma(\theta)e^{\frac{\beta(\theta-1)}{\theta+\sigma}}$$

с учётом эти условие

$$X=0, \quad \theta=1, \quad \dfrac{\partial y}{\partial X}=0;\\ X=\infty, \quad \theta=0, \quad y=0;\\ t=0, \quad \theta=0, \quad y=0.\\ $$

Решение задачи. Представим решение $\theta(X,t)$ в виде суммы

$$ \theta(X,t)=\theta_i(X,t)+u(X,t), \theta_i=erfc(X/2\sqrt{t}) $$

получаем

$$ \dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial X^2}+\beta(1-y)^n\Gamma(\theta)\exp(\dfrac{\beta(\theta_i+u-1)}{(\theta_i+u+\sigma)}) $$

Подскажите пожалуйста как это получено.

[Vince Diesel]

Поскольку функция $\mathrm{erfc}(x/2\sqrt{t})$ удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности, после замены слагаемое $\theta_i$ пропадает из линейной части уравнения, а больше ничего и не меняется.

[Maik2013]

Vince Diesel
в экспонента откуда $u$ появится?

[Vince Diesel]

Maik2013 в сообщении #1042377 писал(а):

Vince Diesel
в экспонента откуда $u$ появится?

Просто замена сделана

Maik2013 в сообщении #1042336 писал(а):

Решение задачи. Представим решение $\theta(X,t)$ в виде суммы

$$ \theta(X,t)=\theta_i(X,t)+u(X,t), \theta_i=erfc(X/2\sqrt{t}) $$

[Maik2013]

Vince Diesel
Спасибо. Еще вопрос, подскажите пожалуйста, вот это уравнений как получено?

$$ \dfrac{1}{\beta^2}\dfrac{\partial u}{\partial t}=\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \dfrac{1}{\beta}(1-y)^n\Gamma\exp\left(\dfrac{\beta(u-\dfrac{x}{\beta\sqrt{\pi t}})}{1+\sigma}\right)+o\left(\dfrac{1}{\beta}\right) $$

$$ \Gamma(\theta)=\Gamma =\rho/\rho_w $$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Vince Diesel]

А там, где вы это взяли, не указываются такие подробности, как сделанная замена и куда стремится $\beta$? Предлагаете гадать там, где у вас больше информации?

Судя по степеням $\beta$, возможно, была сделана замена $u(x,t)=v(\beta x,t)$, а затем что-то раскладывалось в ряды.

[Maik2013]

Vince Diesel
Хочу тут добавит самому статью, но не знаю как.