Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

commator в сообщении #1033038 писал(а):

Возникает непреодолимый соблазн предположить, что плавное голосоведение происходит внутри одной КП, которая перестраивает свою среднюю высоту вслед за голосом до тех пор, пока в нём не происходит скачок.

Когда в голосе происходит скачок, высота после скачка активирует новую КП, со средней высотой вблизи таковой после скачка, а предыдущая КП теряет стимуляцию и за какое-то время, не сразу, деактивируется, если не будет поддержана новой стимуляцией. В течение деактивации, брошенная КП может сохранять в области ощущений фантом последней высоты, пусть слабый, но способный взаимодействовать с ощущениями других высот (стимулированных и фантомных), имеющими место в это же время.

Упомянутое правило музыкальной теории помогает избегать беспорядочной активации/деактивации излишнего количества КП, в таком случае.

Может быть снята одна из проблем классической гармонии:

Мазель 1972 писал(а):

еще Рамо констатировал факт терцового строения аккордов, но за два с половиной века, прошедших со времени выхода его Traite d'harmonie, наука не дала ответа на вопрос, почему аккорды классической гармонии строятся по терциям, в чем смысл такой структуры, решению каких задач она способствует.

Шутя, но серьёзно можно ответить: потому что линеечки нотного стана расположены на расстоянии терции.

Серьёзность такого ответа опирается на факт существования критических полос (КП) шириной в терцию, что было каким-то образом осмыслено изобретателем нотного стана, кто и разбил таковой на смежные КП линеечками.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1044745 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1044654 писал(а):

Дитон, "негармоническая" терция, … понимается как некоторый музыкальный феномен, а не как математически навязанный акустический порок: http://www.px-pict.com/7/3/2/5/10/1/1/1.html

Это легко проверить на примере интерпретации Уибберли, тщательно выстроенной Вами строго по его рекомендации, но не в тембре Recorder.

А я взял да и переключил тембр Вашей ЧИП3 (пифагорейской) модели на Recorder и убедился, что никакакой не феномен этот дитон, потому что в окружении натуральных чистых октав, унисонов, квинт и кварт оказывается таки пороком, но если последний из-за вибрато тембра Violin маскируется, некоторым образом, то в тембре Recorder проявяется в отдельных местах во всей топорности его фальшивого безобразия.

В тембре Tango Accordion пифагорейская (3LJI/ЧИП3) топорность порочного дитона проявляется не в отдельных местах, а везде.

Здесь есть один важный момент, который Вы, уважаемый commator, сейчас признали. Звучание интерпретаций в ЧИПах зависит от подключенного тембра. Но сами ЧИПы относятся к теории "чистой" звуковысотности и от тембра не зависят.

-- Пт авг 14, 2015 23:04:26 --

commator в сообщении #1041199 писал(а):

Суть ЧИПов совпадает с сутью основной теоремы арифметики.

Свободный Художник в сообщении #1042950 писал(а):

У Дэвенпорта, на которого ссылается Википедия, приведено доказательство основной теоремы арифметики с использованием алгоритма Евклида:
http://www.px-pict.com/7/4/5/2/1.html

Хотелось бы с самого начала присоединить сюда и двойственность, которая также будет очень существенной для постижения сути ЧИПов.

Начальное присоединение двойственности к алгоритму Евклида:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/9.html
(пункт 2 на указанной странице)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1045343 писал(а):

Звучание интерпретаций в ЧИПах зависит от подключенного тембра. Но сами ЧИПы относятся к теории "чистой" звуковысотности и от тембра не зависят.

ЧИПы не совсем то, что есть восприятие ЧИПов.

Восприятие от тембров зависит, на это и Гельмгольц указывал, когда писал, что неприятные вертикальные интервалы между парой тонов, богатых обертонами, оказываются менее неприятными, если их стимулировать парой синусоид, дающих ощущения тех же высот.

Известное дело: идеалы можно только планировать, а выполнение планов с идеалами всегда расходится, возможно в ничтожных мелочах, которыми можно пренебрегать, пока допустимо такое терпеть.

В действительности Ваши скрипки никуда не девают пифагорейскую топорность; они её лишь маскируют для Вас, например.

Мой слух не воспринимает привлекательным это дребезжание, маскируемое хоть скрипками, хоть синусоидами, что и не позволяет мне соглашаться с утверждающими, будто пифагорейские терции могут быть непорочными гармоническими феноменами.

И я точно знаю: именно порочность пифагорейских терций, легко понятная всякому зрелому и здоровому слуху, заставила человечество перепробовать уйму простых способов избавиться от неё, а теперь заставляет пробовать способы непростые, потому что порочны и ныне стандартные 12РДО терции.

[Свободный Художник]

Здравомыслящий англосакс (Дэвид Райт) вынес тембры в "отдельное производство":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/10.html

Наверное, сам того не ведая, он следовал пожеланиям Алексея Степановича Оголевца:
Обертоны имеют свою и очень почетную роль в музыке -- в темброобразовании, но мы должны их избавить от работы по совместительству в ладообразовании.
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/58.html

А в области ладообразования должны "рулить" питчи, что я пытался обосновать здесь:
http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=83973

-- Сб авг 15, 2015 23:48:21 --

Свободный Художник в сообщении #1045343 писал(а):

Начальное присоединение двойственности к алгоритму Евклида:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/9.html
(пункт 2 на указанной странице)

Мы можем "дожать" обозначенные двойственные конструкции до дистрибутивной решетки:
http://www.px-pict.com/copies/dxdy/duality/page6/3.html

В ее контексте естественным образом записываются, например, построения, которые производит И. В. Арнольд:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/7/13/104a.html

Очевидно, эта дистрибутивная решетка будет некоторой решеткой де Моргана:
https://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan_algebra

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1045544 писал(а):

в области ладообразования должны "рулить" питчи

По-русски они называются высоты, а звуки с определёнными высотами — тоны.

Не обойтись в ладообразовании ни без обертонов, ни без унтертонов, другими словами, потому что и те и другие таки тоны, от взаимодействия которых сильно зависят как удача, так и неудача ладообразования.

Образовали лад, например, где на синусоидах какая-то музыка сносной покажется, но на дудках та же пьеса будет фальшивить жестоко.

Это ведь неудача в области ладообразования и лишь потому, что тембровую общественность до руля не допустили.

[Свободный Художник]

Какая неудача возникает в области ладообразования когда тембровую общественность допускают до руля, хорошо показал Оголевец в своем критическом разборе построений Н. Гарбузова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/59.html

"Разделяй и властвуй" -- есть такой принцип в теории создания хороших алгоритмов:
http://www.px-pict.com/9/7/1.html
(пункт 2.6 в приведенном там оглавлении)

Отделяя тембры от звуковысотности, полагают, что при подключении различных тембров звуковысотность пьесы не порушится (фигурирующие в ней интервалы не расширятся и не сузятся).
Вместе с тем, абстрагируясь от вибраций, мы можем яснее вскрыть скрытую за вибрациями теоретико-музыкальную суть.

-- Вс авг 16, 2015 23:35:44 --

По-видимому, это хорошо понимал Царлино, к которому Вы любите ссылаться по его титулу: "Князь музыки". Ведь на чертежах, которые он приводил для обоснования своей концепции:
http://www.tonalsoft.com/monzo/zarlino/ ... 558-2.aspx

отрезки прямых, представляющие абстракции от струн, не вибрируют.

-- Вс авг 16, 2015 23:50:05 --

И хотя в арифметике нет вибраций, в ней есть двойственность. Как раз такая, которая необходима для обоснования Таблицы 74 у Немировского:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/6/5.html

Это открывает путь к построению теории музыкальной двойственности, независимой от обертонально-унтертональных теорий Римана.

Свободный Художник в сообщении #1045343 писал(а):

commator в сообщении #1041199 писал(а):

Суть ЧИПов совпадает с сутью основной теоремы арифметики.

Свободный Художник в сообщении #1042950 писал(а):

У Дэвенпорта, на которого ссылается Википедия, приведено доказательство основной теоремы арифметики с использованием алгоритма Евклида:
http://www.px-pict.com/7/4/5/2/1.html

Хотелось бы с самого начала присоединить сюда и двойственность, которая также будет очень существенной для постижения сути ЧИПов.

Начальное присоединение двойственности к алгоритму Евклида:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/9.html
(пункт 2 на указанной странице)

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1045739 писал(а):

Какая неудача возникает в области ладообразования когда тембровую общественность допускают до руля, хорошо показал Оголевец в своем критическом разборе построений Н. Гарбузова: http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/59.html

Что-то не ясно мне, на какую неудачу Вы намекаете, предлагая изучить очередное и столь обширное охаивание моего любимого натурального звукоряда.

Можете уточнить, где именно Алексей Степанович так покритиковал Николая Алексвндровича в области ладообразования, чтобы я с Оголевцем мог безоговорочно согласиться?

Учтите: из собственных наблюдений музыковедческих повадок я понял, что разглагольствования о ладах заводятся ради возможности подлатать умным видом дыры в области твёрдого знания.

[commator]

commator в сообщении #1045769 писал(а):

"Разделяй и властвуй" -- есть такой принцип

Принцип-то есть, только власть может шаткая получаться.

Польшу, например, разделяли не раз и не два; властвовали по алгоритмам; в результате она не разделиласть и продолжает существовать по другим алгоритмам.

[commator]

For English-language visitors:

commator in message #1029502 писал(а):

Ftee Artist in message #1029457 писал(а):

It would be desirable that you provide a few more details about the operations you are interested and explained as far as possible, their substantive meaning.

(Russian)

Хотелось бы, чтобы Вы предоставили несколько больше информации об интересующих Вас операциях, а также разъяснили, по возможности, их содержательный смысл.

One out of your favorite examples:

(Russian)

Один из Ваших излюбленных примеров:

Is retrieved the vertical from the beginning of the second bar and done transformations, proceeding from that the first-octave-la accepted as originant of suboriginant:

(Russian)

Извлекаем вертикаль из начала второго такта и делаем преобразования, исходя из того, что ля-первой-октавы принята за оригинант суборигинанта:

$a1:[~1/1~]\to:\varnothing_\varnothing$
$f1:[19/24]\to:Ud3t$
$c1:[19/32]\to:U5t$
$~f:[19/48]\to:Ud4t$

commator in messge #1041923 писал(а):

Has intended to report on this at a symposium FRSM-2015, sent there abstract of future report and propose, who are interested, its bilingual draft:

(Russin)

Вознамерился об этом доложить на симпозиуме FRSM-2015, отправил туда аннотацию будущего отчёта и предлагаю, кому интересно, её двуязычный черновик:

Pitch Categoricity and Computing of Local Consonances in 5 Limit Just Intonation.doc

Has prepared syntonic version for the report with a distinguished element of the standard pitch =$a1:\varnothing[1/1] _\varnothing \leftarrow 440Hz$, coloring notes, sonantometry of retuning from 3LJI to 5LJI and in escort a table of activity of critical bands, where added coloring of voices for visibility:

(Russian)

Подготовил синтоническую версию для доклада с выделенным высотным элемнтом стандарта =$a1:\varnothing[1/1]_\varnothing\leftarrow 440Hz$, раскраской нот, сонантометрией перенастройки из ЧИП3 в ЧИП5 и в сопровождении таблицы активности критических полос, где добавил раскраску голосов для наглядности:

https://sites.google.com/site/commator/technology_e/Des_Prez_Ave_Maria06v05j.mp3;
https://sites.google.com/site/commator/technology_e/Des_Prez_Ave_Maria06v05j.zip including MID, TIFs & PDF;
https://sites.google.com/site/commator/technology_e/Des_Prez_Ave_Maria06v05j.sib.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1045769 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1045739 писал(а):

Какая неудача возникает в области ладообразования когда тембровую общественность допускают до руля, хорошо показал Оголевец в своем критическом разборе построений Н. Гарбузова: http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/59.html

Что-то не ясно мне, на какую неудачу Вы намекаете, предлагая изучить очередное и столь обширное охаивание моего любимого натурального звукоряда.

Можете уточнить, где именно Алексей Степанович так покритиковал Николая Алексвндровича в области ладообразования, чтобы я с Оголевцем мог безоговорочно согласиться?

Николай Александрович был слишком мелковат для Алексея Степановича (над ним он просто издевался). А покритиковал Оголевец Рамо:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/50/2.html
(блестяще обосновав необходимость переоценки ценностей)

-- Ср авг 19, 2015 23:41:30 --

commator в сообщении #1045769 писал(а):

Учтите: из собственных наблюдений музыковедческих повадок я понял, что разглагольствования о ладах заводятся ради возможности подлатать умным видом дыры в области твёрдого знания.

Как же тогда можно объяснить, что Царлино (на которого Вы любите ссылаться по его титулу: "Князь музыки") целый том посвятил рассмотрению ладов в своем бессмертном сочинении "Установления гармонии"?
Ныне мы можем свободно читать это сочинение на английском:
Zarlino, Gioseffo (1558 ) ; On the Modes: Part Four of Le Istitutioni Harmoniche.
Transl. to english by V. Cohen; ed. by C. V. Palisca; 1983.
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 775&page=8
(в конце указанной страницы)

-- Ср авг 19, 2015 23:52:00 --

Позже Оголевца критику теорий натурального звукоряда по сути повторил Ю. Н. Холопов.

Свободный Художник в сообщении #1038180 писал(а):

Вам известен вердикт Ю. Н. Холопова по поводу обертонально-унтертональных теорий Римана:
Важнейшая теория выводит мажор и минор из природных явлений. Ее пытался создать Рамо, ее изо всех сил отстаивал, иногда даже "рассудку вопреки, наперекор стихиям", Хуго Риман, но она в конце концов оказалась несостоятельной.
http://www.px-pict.com/preprints/kholopov/1.html
Суть этого вердикта заключается в том, что обертонально-унтертональные теории Римана не дружат с головой.
Поэтому хотелось бы, "прильнув к истокам", получить более адекватные перспективы по использованию ДШБ в теории музыки.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1046391 писал(а):

Николай Александрович был слишком мелковат для Алексея Степановича (над ним он просто издевался). А покритиковал Оголевец Рамо: http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/50/2.html
(блестяще обосновав необходимость переоценки ценностей)

Не нашёл блеска обоснований в пыльном многословии экзотичного по сей день музыковеда, не угадывающего связи функциональной теории с обер/унтертонами и основной теоремой арифметики, хотя на сие у Римана мог бы уже найти довольно толстые намёки, имея за спиной кое-какое понятие о точных науках, помимо практики в репрессивных органах, которая и отбила АСО охоту, вероятно, искать правду вместо навешивания путанной обвинительной лапши на всех, кроме себя.

Было бы интересным Ваше лаконичное пояснение, что за обоснования Вам видятся и как они блестят.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1046391 писал(а):

Царлино (на которого Вы любите ссылаться по его титулу: "Князь музыки") целый том посвятил рассмотрению ладов

Царлино был теоретиком, а не музыковедом: он строил теорию, не ведая о ныне заведующих музыкой, хотя и замечал во времена своих построений оживлённую возню тех, кого он называл скоморохами, как нашли для них по-русски подходящее слово.

Царлино 1558 по Шестакову 1981,* с. 611 писал(а):

Пусть не подумает кто–нибудь, что то, о чем я говорил здесь по поводу музыкального искусства, было сказано в порицание его или в осуждение тех, кто таким образом им занимается; этого у меня и в мыслях не было: скорее, я это говорил для того, чтобы, соединяя музыку таким способом с другими достопочтенными науками, полными строгости, мы бы могли защитить ее от праздношатающихся сводников и скоморохов и возвести ее вновь на подобающее ей место – так, чтобы она не служила только людям, предающимся наслаждению, а была бы использована теми людьми, которые прилежно изучают славные науки и которые преследуют добро и живут нравственно и как добрые граждане.

(Итальянский)

Ne alcuno debbe credere, che quello ch'io hò detto dell'arte della Musica, l'habbia detto, ne per vituperarlo, ne coloro che in tal maniera siessercitano; cosa che giamai non mi è caduto nell'animo: ma più tosto l'hò detto, accioche congiunta in tal modo, & ad altre honoreuoli scienze piene di seuerità, la difendiamo dalli vagabondi & otiosi ruffianesmi de bagatellieri, & la riponiamo nel suo vero luogo; si che ella non habbia da seruire a coloro che fono dediti solamente alle voluttà: ma sia per vso delli studiosi delle buone scienze, & di coloro che seguitano le uirtù, costumatamente & ciuilmente viuendo.

*) http://www.opentextnn.ru/music/epoch%20/XII-XVI%20cc./?id=2920

-- 20.08.2015, 01:19 --

Свободный Художник в сообщении #1046391 писал(а):

Позже Оголевца критику теорий натурального звукоряда по сути повторил Ю. Н. Холопов.

По этому поводу я уже высказался ранее:

commator в сообщении #1038202 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1038180 писал(а):

Вам известен вердикт Ю. Н. Холопова по поводу обертонально-унтертональных теорий Римана:
Важнейшая теория выводит мажор и минор из природных явлений. Ее пытался создать Рамо, ее изо всех сил отстаивал, иногда даже "рассудку вопреки, наперекор стихиям", Хуго Риман, но она в конце концов оказалась несостоятельной. http://www.px-pict.com/preprints/kholopov/1.html
Суть этого вердикта заключается в том, что обертонально-унтертональные теории Римана не дружат с головой.

Перед вынесением вердиктов о дружбе теорий Римана с головой, Юрию Николаевичу следовало бы проверить способности своей головы к дружбе хоть с чем нибудь помимо собственного мифотворчества.

Ноосфера писал(а):

Неудачной оказалась попытка Холопова выстроить доктрину музыкально-исторического процесса[1]; была замечена её тавтологичность, фантастичность и даже химерность[2]; попытка смягчить столь жёсткие оценки концепции закончилась признанием мифичности[3] этого смелого и неудачного штурма проблемы Юрием Николаевичем[4].

В склонности Холопова к мифотворчеству может убедиться каждый, кому попадётся на глаза фантастическая химера «радужный спектр интервалов» из холоповского определения природного гармонического ряда.[5].

(Английскмй)

It turned out unsuccessful an attempt by Kholopov to upbuild a doctrine of the musical-historic process;[1] has been noticed that it's tautological, fantastic and even chimeric.[2] An attempt to mitigate so rigid assessments of the concept was ended recognition as a mythical [3] this brave and unsuccessful storming the problem by Yuri Nikolayevich.[4]

In propensity Kholopov to the myth-making can make sure everyone to whom catch the eye the fantastic chimera «rainbow spectrum of intervals» from Kholopov's a definition of the natural harmonic series.[5]

К сожалению в Истории не бывает следовалобы, но встречается чтоделатьиктовиноват. Кроме того, всегда можно сказать: мы любим его за другое.

[commator]

commator в сообщении #1046436 писал(а):

По этому поводу я уже высказался ранее:

И ещё ранее:

commator в Сети писал(а):

ЧИ (чистая интонация) это то, и чём по-русски в официальной музыкальной науке ещё ничего не сказано, а по-английски разве что на Луне ещё не написано. Поэтому погуглите Just intonation (JI), чтобы самому в этом убедиться

И за день до того:

commator в Сети писал(а):

Вот одна из Ваших ссылок и её фрагмент:



В приложении к ЧИ это выглядит так:

Информация, содержащаяся в ЧС (ЧИП5) включает информацию, содержащуюся в ПС (ЧИП3), и именно поэтому ЧС лучше ПС.

Из этого следует, что если обучить скрипача играть примитивно в ПС, то для сложной игры в ЧС его придётся переучивать. Если же сразу научить его сложной игре в ЧС, то при нужде он и сам будет способен снизойти до пифагорейских интонаций.

commator в Сети писал(а):

... из книги Барбьери:

стр. 164

<<... перейдем к анализу позиции Вольфганга Амадея Моцарта. В уроках, что он давал Томасу Этвуду (1785-7), он следовал тому, что содержится в Violinschule Леопольда, а значит поддержке синтонических соотношений псевдотонов$.^1^3^4$ В результате Чеснат считает, что современнвя интонация экспрессивно-функционального типа, "является не надлежащей, если нашей целью является воспроизведение музыки Моцарта так, как он сам хотел играть".$^1^3^5$ Тем не менее, мы знаем, что Моцарт путешествовал в различных местах по Франции и Италии, именно в те годы, когда данные (о чем говорилось выше) о новой интонации были умножающиеся, так что вероятно, он также применял её, даже если всего лишь бессознательно ...>>
...

-- 20.08.2015, 10:20 --

Свободный Художник в сообщении #1046391 писал(а):

Николай Александрович был слишком мелковат для Алексея Степановича (над ним он просто издевался).

Дедушка Крылов доходчиво пояснил, как будто, где слон и где моська, когда кто-то кого-то облаивает.

[commator]

commator в сообщении #1046470 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1046391 писал(а):

Николай Александрович был слишком мелковат для Алексея Степановича (над ним он просто издевался).

Дедушка Крылов доходчиво пояснил, как будто, где слон и где моська, когда кто-то кого-то облаивает.

Алиева 2012 писал(а):

В зонной теории Гарбузова усматривается аналогия с теорией нечетких множеств Л. Заде (Zadeh, L, 1965), в основе которой лежит предположение, что человек мыслит не числами, а элементами некоторых нечетких множеств (fuzzy sets).

commator в Сети писал(а):

imina в Сети писал(а):

... надо бы определиться, что считать зоной.
Ведь Гарбузов пришел к своим выводам в результате психоакустических экспериментов...

Математик в Сети писал(а):

... Гляньте, пожалуйста, то место, где Лефевр дает общую характеристику теории Гарбузова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/8/1/3.html ...

То, что курсивом и есть предложенное хорошим математиком определение психоакустической зоны Гарбузова.



Хочется подчеркнуть, что в среднем регистре чистая октава с уходом высоты ± 10 центов не будет воспринята в качестве чистой октавы. Она будет воспринята, как грязная октава. А вот уход высоты ± 1 цент не должен заметно менять качество чистой октавы. Ширина зоны ± 30 центов для октавы явно завышена. Думаю, что и для малой терции это слишком широкая зона.

Уверен, что необходимость широкомасштабных экспериментов по уточнению пионерских результатов Николая Александровича назрела.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1046401 писал(а):

Свободный Художник в сообщении #1046391 писал(а):

Николай Александрович был слишком мелковат для Алексея Степановича (над ним он просто издевался). А покритиковал Оголевец Рамо: http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10/50/2.html
(блестяще обосновав необходимость переоценки ценностей)

Не нашёл блеска обоснований в пыльном многословии экзотичного по сей день музыковеда, не угадывающего связи функциональной теории с обер/унтертонами и основной теоремой арифметики, хотя на сие у Римана мог бы уже найти довольно толстые намёки, имея за спиной кое-какое понятие о точных науках, помимо практики в репрессивных органах, которая и отбила АСО охоту, вероятно, искать правду вместо навешивания путанной обвинительной лапши на всех, кроме себя.

Как Вы помните, была очень подробная и обстоятельная дискуссия об обертонально-унтертональных теориях Римана:
http://www.forumklassika.ru/showthread. ... 174&page=4

Где вполне можно было разобраться в их сути и без вердиктов Оголевца с Холоповым.

-- Чт авг 20, 2015 23:52:00 --

commator в сообщении #1046401 писал(а):

Было бы интересным Ваше лаконичное пояснение, что за обоснования Вам видятся и как они блестят.

Хотелось бы несколько по иному оформить "гармонический дуализм" Царлино, о котором пишут Холопов и Поспелова в своей статье:
http://www.kholopov.ru/khol-posp-zarlino.pdf
(стр. 42 - 43; стр. 13 - 14 pdf-документа)

Взяв за основу наличие феномена двойственности в системе положительных рациональных чисел. Более подробно напишу через три дня.

Свободный Художник в сообщении #1045739 писал(а):

И хотя в арифметике нет вибраций, в ней есть двойственность. Как раз такая, которая необходима для обоснования Таблицы 74 у Немировского:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/6/5.html

Это открывает путь к построению теории музыкальной двойственности, независимой от обертонально-унтертональных теорий Римана.