2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 08:44 


19/05/14
45
Продолжаю прорешивать примеры... Сделал еще два примера, застопорился на третьем:
$$\begin{pmatrix}
 a_{1}+a_{2} &  -a_{2} &  a_{1}t/2-a_{2}t/2 & -a_{2}t/2\\
 -a_{2} &   a_{2}+a_{3} &  a_{2}t/2 & a_{2}t/2-a_{3}t/2\\
 a_{1}t/2-a_{2}t/2 & a_{2}t/2 & b_{1}+b_{2}+a_{1}t^2/4+a_{2}t^2/4 & -b_{2}+a_{2}t^2/4 \\
-a_{2}t/2 & a_{2}t/2-a_{3}t/2 & -b_{2}+a_{2}t^2/4 & b_{2}+b_{3}+a_{2}t^2/4+a_{3}t^2/4 
\end{pmatrix}$$
Доказать, что если все константы $b_{i}$ отрицательны, а остальные константы положительны, то матрица не является положительно определенной.
Забавно, что в данном случае у меня получилось это доказать с помощью критерия Сильвестра. Но хочется подобрать переменные, чтобы увидеть, что форма действительно может быть отрицательной.
С единицами тут не получается, потому что нужно сохранить $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, а иначе $b_{2}$ сократится при сложении всех элементов.

P.s. Вторая подзадача. $t $ - всегда некоторое положительное действительное число. Доказать, что матрица не является положительно определенной, если одна из констант $a_{i}$ и две любые константы $b_{i}$ являются отрицательными. Остальные положительны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
А что такое $t $?

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 09:04 


19/05/14
45
ex-math в сообщении #1045783 писал(а):
А что такое $t $?

Нашел решение! $[-t/2, -t/2, 1, -1]$. Как бы только научиться быстрее угадывать переменные, а то у меня пока только методом тыка выходит :(
К этой же матрице предлагается доказать еще одну вещь. (Уважаемый модератор, опять создавать новую тему?)
$t $ - всегда некоторое положительное действительное число. Доказать, что матрица не является положительно определенной, если одна из констант $a_{i}$ и две любые константы $b_{i}$ являются отрицательными. Остальные положительны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 09:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Ну, диагональ будет всегда входить с положительными коэффициентами. Значит, нужно компенсировать нежелательные элементы в ней. Чтобы убрать две диагональные $a_2t^2/4$ надо брать третью и четвертую переменные разных знаков, тогда элемент в третьей строке и четвертом столбце и симметричный ему войдут с минусом. И так далее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 09:21 


19/05/14
45
ex-math в сообщении #1045786 писал(а):
Ну, диагональ будет всегда входить с положительными коэффициентами. Значит, нужно компенсировать нежелательные элементы в ней. Чтобы убрать две диагональные $a_2t^2/4$ надо брать третью и четвертую переменные разных знаков, тогда элемент в третьей строке и четвертом столбце и симметричный ему войдут с минусом. И так далее.

Ой, увидел ваше сообщение, как только отправил свое предыдущее. Сейчас попробую сделать вторую подзадачу, как вы говорите, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 10:27 


19/05/14
45
ex-math в сообщении #1045786 писал(а):
Ну, диагональ будет всегда входить с положительными коэффициентами. Значит, нужно компенсировать нежелательные элементы в ней. Чтобы убрать две диагональные $a_2t^2/4$ надо брать третью и четвертую переменные разных знаков, тогда элемент в третьей строке и четвертом столбце и симметричный ему войдут с минусом. И так далее.

Для случая $a_{1}<0, b_{1}<0, b_{2}<0$ нашел вектор $[t/2, 0, 1, 0]$, который при перемножении дает отрицательную форму.

Никак не могу придумать переменные для случаев :facepalm:
1) $a_{1}<0, b_{1}<0, b_{3}<0$
2) $a_{1}<0, b_{2}<0, b_{3}<0$
Остальные константы положительны

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 15:45 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
Цитата:
1) $a_{1}<0, b_{1}<0, b_{3}<0$
2) $a_{1}<0, b_{2}<0, b_{3}<0$
Остальные константы положительны

Если свернуть форму (мне так удобнее), получилось
$$q\left( x,y,\dfrac 2tz,\dfrac 2tu\right) =a_1(x+z)^2+a_2(x-y-z-u)^2-4a_2uz+a_3(y-u)^2+b_1z^2+b_2(z-u)^2+b_3u^2$$
Случай 2:обратим 4 слагаемыx с вовсе не заданными коэффициентами в 0, $z=0,y=u=\dfrac x2$, что соответствует набору $\left( t,\dfrac t2,0,1\right)$
Случай 1: заставим 2е и 3е слагаемое уничтожиться, а 4-е и 6-е обратиться в 0: $u=y=z=\dfrac x5$, что соответствует набору $\left( 5t,t,2,2\right)$
Как-то так

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 16:49 


19/05/14
45
iancaple в сообщении #1045851 писал(а):
Если свернуть форму (мне так удобнее), получилось

Круто! Еще раз спасибо. :appl: Но мне кажется тут где-то ошибка
1) Я попробовал умножить первоначальную матрицу на $\left( 5t,t,2,2\right)$ слева и справа - у меня получился другой ответ. $a_{2}$ остается...
2) При подстановке тех переменных, которые я нашел выше: $[-t/2, -t/2, 1, -1]$ - не доказывается, что форма будет отрицательна, если $b_{i}$ отрицательны, а остальные константы положительны. В форме $a_{2}$ остается :?:

Хочется только самому научиться и освоить эту технику - возможно еще предстоит не одну матрицу рассмотреть.
Вот на этом примере оказалось, что метод "в лоб" простым подбором переменных - может не дать результатов. Ну то бишь может кто-нибудь (за всех сказать не могу) и смог бы сразу дать такой набор, но я пытался подобрать достаточно продолжительное время и у меня не вышло :|
В итоге для решения такого типа задача, как я понял, удобнее начинать с записи квадратичной формы, а уже потом подбирать переменные.

У меня вопрос такой: как именно вы знаете, как нужно свернуть форму? И как происходит процесс свертки? Конкретно это описывается в каком-либо задачнике/учебнике или это общеизвестная техника (т.е. моя серость)? И как вы поняли, что вектор переменных удобнее представить как $(x, y, 2z/t, 2u/t)$, а не просто $(x, y, z, u)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 18:25 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
trarbish в сообщении #1045860 писал(а):
как нужно свернуть форму? И как происходит процесс свертки?
Правило простое, на $(i,j)$ месте в матрице стоит коэффициент при произведении $i$-й и $j$-й переменных, как бы они ни назывались. А дальше выделяются полные квадраты так, чтобы данные $a_i,b_i$ были коэффициентами при них, квадратов и т.п. одночленов, конечно, будет больше 4-х.
Возможно я ошибся, но конечный ответ очень близок должен быть :-(
Вот еще версия
$$q\left( x,y,\dfrac 2tz,\dfrac 2tu\right) =a_1(x+z)^2+a_2(x-y-z-u)^2+a_3(y-u)^2+b_1z^2+b_2(z-u)^2+b_3u^2$$
даже проще стало. И подтверждается гипотеза, как эти формы составлялись...
Обратить в 0 любые три выражения из шести можно с помощью ненулевого набора (однородная система трех уравнений с 4-мя неизвестными имеет ненулевое решение), этим решены и те задачи, которые Вы не успели задать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 19:13 


19/05/14
45
iancaple в сообщении #1045878 писал(а):
Правило простое, на $(i,j)$ месте в матрице стоит коэффициент при произведении $i$-й и $j$-й переменных, как бы они ни назывались

Т.е. например на $(1,2)$ месте (и соответственно $(2,1)$) стоит произведение $x$ и $y$ с каким-нибудь коэффициентом (в данном случае $-a_{2}$), да? В случае вектора $(x,y,\dfrac 2tz,\dfrac 2tu)$.
Затем вы эти все компоненты записываете в строчку и выделяете квадраты? Вы это делаете вручную? В Mathematica я использую Collect для этих целей. И кстати при выделении квадратов видно, что удобнее использовать не $(x,y,z,u)$, а $(x,y,\dfrac 2tz,\dfrac 2tu)$, да?
iancaple в сообщении #1045878 писал(а):
Вот еще версия

Да, спасибо, я тоже выделил квадраты. Только у всех $b_{i}$ есть еще множитель $4/t^2$. Вы его намеренно не пишите, т.к. он не влияет ни на что?
iancaple в сообщении #1045878 писал(а):
этим решены и те задачи, которые Вы не успели задать.

В смысле вы про те два случая, к которым я не смог подобрать переменные методом тыка?

Еще раз спасибо за столь подробные разъяснения и терпение! Надеюсь все последующие примеры смогу решить самостоятельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение17.08.2015, 19:35 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
trarbish в сообщении #1045895 писал(а):
Только у всех $b_{i}$ есть еще множитель $4/t^2$. Вы его намеренно не пишите, т.к. он не влияет ни на что?
Забыл сказать, что переходим к новым $b_i'$ того же знака.

(Оффтоп)

Рад бы использовать матпакеты, но пишу с нового компа, ничего еще не установлено, даже многое на экране не вижу, отсюда и ошибки

trarbish в сообщении #1045781 писал(а):
P.s. Вторая подзадача. $t $ - всегда некоторое положительное действительное число. Доказать, что матрица не является положительно определенной, если одна из констант $a_{i}$ и две любые константы $b_{i}$ являются отрицательными. Остальные положительны.

Вот эти все решены, и даже больше

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение18.08.2015, 06:42 


19/05/14
45
iancaple в сообщении #1045899 писал(а):
Вот эти все решены, и даже больше

Понятно, спасибо.
Я вот что еще подумал. По идее квадратичная форма должна давать самый общий ответ на то, какие комбинации из отрицательных и положительных констант в матрице делают матрицу не положительно определенной. Это видно из примеров, которые тут решены. Можно ли это дело как-то оптимизировать? Есть ли возможность быстро ответить, например, что при трех отрицательных $b_{i}$ или двух отрицательных $a_{i}$ или т.д. матрица не будет положительно определенной? Или только рассмотрение вручную каждой комбинации одной за другой нам в помощь?

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение18.08.2015, 09:58 
Аватара пользователя


29/06/15
277
[0,\infty )
При любых двух $a_i$ отрицательных форма не является положительно определенной, так как однородная система уравнений с матрицей
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & -1 }\end{pmatrix}$$ при вычеркнутых любых двух из первых трех строк имеет ненулевое решение, то есть пример $(x,y,z,u)$
А если Вы интересуетесь проверкой конкретной числовой матрицы, быстрее всего запросить у матпакета ее собственные числа и посмотреть какие знаки

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение18.08.2015, 11:34 


19/05/14
45
iancaple в сообщении #1045999 писал(а):
А если Вы интересуетесь проверкой конкретной числовой матрицы, быстрее всего запросить у матпакета ее собственные числа и посмотреть какие знаки

Нет, интересуют не конкретные числа, а именно положительность и отрицательность компонентов матрицы. И их влияние на положительность матрицы.
iancaple в сообщении #1045999 писал(а):
При любых двух $a_i$ отрицательных форма не является положительно определенной, так как однородная система уравнений с матрицей, при вычеркнутых любых двух из первых трех строк имеет ненулевое решение

Если вычеркнуть первую и третью строчку, то это сразу не совсем очевидно. Хотя, конечно, потом можно из шестой строчки вычесть четвертую, и к шестой прибавить пятую. Тогда получим нулевую шестую строку, а следовательно ранг будет равен 3 и будет меньше числа неизвестных.
Правильно ли я понимаю, что таким образом это дело можно автоматизировать, убирая различные строки из такой матрицы и считая ранг? Соотвественно если ранг получается меньше числа неизвестных - получаем ненулевое решение и автоматически не положительность формы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Положительная определенность - 2
Сообщение18.08.2015, 16:02 


19/05/14
45
trarbish в сообщении #1046021 писал(а):
Правильно ли я понимаю, что таким образом это дело можно автоматизировать, убирая различные строки из такой матрицы и считая ранг?

Поясню, что я имею ввиду. Например, я рассмотрел другую матрицу (с кучей констант), получил квадратичную форму и записал однородную систему уравнений с матрицей (как сделали вы выше):

(Оффтоп)

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
}\end{pmatrix}$$

И вот у такой матрицы я хочу найти как много нужно вычеркнуть строк (и чтобы это было минимальное количество), чтобы ранг стал равен количеству переменных (6) - т.е. это будет тот момент, когда уже нельзя будет точно сказать, что форма является не положительно определенной.

P.s. Использовал "оффтоп", так как не нашел, как можно свернуть большой текст.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group