Оценка числа обусловленности матрицы

[verochka88]

Помогите, пожалуйста, с задачей: оценить

$$ \mu_2(A)$$

для матрицы

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 &0 &\dots& 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 &-1 &\dots& 0 & 0 \\ \hdotsfor{7}\\ 0 & 0 & 0 &0 &\dots& 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 &0 &\dots& -1 & 2 \end{array}\right)$$

Заранее благодарна!

[TOTAL]

verochka88 писал(а):

:?: Помогите, пожалуйста, с задачей: оценить

$$ \mu_2(A)$$

Что такое

$$ \mu_2(A)$$

?

[verochka88]

$$\mu_2(A)$$

- число обусловленности по 2-норме

[TOTAL]

verochka88 писал(а):

$$\mu_2(A)$$

- число обусловленности по 2-норме

Что такое число обусловленности по 2-норме?

[verochka88]

По определению

$$\mu_2(A)=||A||_2*||A^{-1}||_2$$

$$||A||_2=\max_{j}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|$$

[TOTAL]

verochka88 писал(а):

По определению

$$\mu_2(A)=||A||_2*||A^{-1}||_2$$

$$||A||_2=\max_{j}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|$$

Если это так, то проверьте (мог ошибиться), что элементы обратной матрицы равны

$$b_{ij}=\frac{i(n+1-j)}{n+1}, \; j \ge i$$

и найдите соответствующий максимум.

[RIP]

verochka88 писал(а):

$$||A||_2=\max_{j}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|$$

Это неверно. Справа стоит $\|A\|_1$.
$\|A\|_2=\max\{\sqrt{\lambda}\mid\lambda\text{ --- собственное значение }A^*A\}$.
Для эрмитовой матрицы $A$ (когда $A^*=A$)
$\|A\|_2=\rho(A)=\max\{|\lambda|\mid\lambda\text{ --- собственное значение }A\}$ (спектральный радиус матрицы $A$).

Таким образом, Вам надо оценить собственные значения Вашей матрицы сверху и снизу. Воспользуйтесь теоремой о кругах Гершгорина.

[verochka88]

RIP писал(а):

verochka88 писал(а):

$$||A||_2=\max_{j}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|$$

Это неверно. Справа стоит $\|A\|_1$.
$\|A\|_2=\max\{\sqrt{\lambda}\mid\lambda\text{ --- собственное значение }A^*A\}$.
Для эрмитовой матрицы $A$ (когда $A^*=A$)
$\|A\|_2=\rho(A)=\max\{|\lambda|\mid\lambda\text{ --- собственное значение }A\}$ (спектральный радиус матрицы $A$).

Таким образом, Вам надо оценить собственные значения Вашей матрицы сверху и снизу. Воспользуйтесь теоремой о кругах Гершгорина.

Странно, на лекции нам давали, что

$$||A||_1=\max_{i}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|$$

$$||A||_2$$

я считала получилось 4. А как найти

$$||A^{-1}||_2$$

я не знаю. Но наверное оно как-то должно зависеть от размерности матрицы n.
P.S. К сожалению, я не знаю теорему о кругах Гершгорина.

[TOTAL]

verochka88 писал(а):

Странно, на лекции нам давали, что

$$||A||_1=\max_{i}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|$$

$$||A||_2$$

я считала получилось 4. А как найти

$$||A^{-1}||_2$$

я не знаю. Но наверное оно как-то должно зависеть от размерности матрицы n.
P.S. К сожалению, я не знаю теорему о кругах Гершгорина.

Без теоремы Гершгорина можете просто найти все собственные числа (и поделить большее на меньшее).
Проверьте, например

$$\lambda_k=4 \sin^2 (\frac{k \pi}{2(n+1)})$$

[RIP]

verochka88 писал(а):

Странно, на лекции нам давали, что

$$||A||_1=\max_{i}\sum_{j=1}^{n}|a_{ij}|$$

Странно, на самом деле это определение $\|A\|_\infty$. Или у Вас в лекциях пользуются нестандартными обозначениями, или что-то тут не так. Индекс 1 у матричной нормы $\|\cdot\|_1$ означает, что она подчинена векторной $l_1$-норме $\|x\|_1=\sum_{j=1}^n|x_j|$. Если расписать по определению, получится $\|A\|_1=\max_{j}\sum_{i=1}^{n}|a_{ij}|$.

verochka88 писал(а):

$$||A||_2$$

я считала получилось 4.

$\|A\|_2$ Вы посчитали неверно.

Теорема Гершгорина говорит, что для произвольного собственного значения $\lambda$ матрицы $A$ найдётся такое $1\le i\le n$, что
$|\lambda-a_{ii}|\le\sum\limits_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n|a_{ij}|$. Если на занятиях у Вас такой не было, то докажите её самостоятельно, это очень просто.

Добавлено спустя 4 минуты 12 секунд:

Хотя нет, я протупил. Теорема Гершгорина не поможет. Придётся действительно считать собственные значения.

[verochka88]

Спасибо! Попытаюсь разобраться!