Терверчик. Распределение

[saygogoplz]

Придумалась мне задачка. Пусть $\xi$ -- случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0,1]$, а $\eta$ -- случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0,\xi]$. Как найти плотность распределения для $\eta$? Ничего в голову не приходит.

[Mysterious Light]

$\eta < x$ при $\xi = y$ произойдёт с вероятностью

$$\mathbb{P}(\eta < x | \xi = y) = \begin{cases} 1. & y < x, \\ \frac xy, & y\geqslant x. \end{cases}$$

Поскольку $\mathbb{P}(\eta < x) = \int_0^1 \mathbb{P}(\eta < x | \xi = y) \operatorname{d}\!y$ в случае нормального распределения $\xi$,

$$\mathbb{P}(\eta < x) = \int_0^x dy + \int_x^1 \frac xy dy = x - x\ln x.$$

Плотность, соответственно, равна производной $p(x) = -\ln x$

[gris]

А вроде бы чисто интуитивно кажется, что плотность должна иметь максимум вблизи $1/4$

[NSKuber]

Mysterious Light
На всякий случай дополню, что плотность и функция распределения имеют такой вид при $x \in(0,1)$.
gris
По-моему интуитивно плотность как раз должна убывать: вероятность $\eta$ попасть в некоторую окрестность нуля отлична от нулевой при почти всех принимаемых $\xi$ значениях, а чем дальше от нуля, тем меньше.

[Mihaylo]

gris писал(а):

А вроде бы чисто интуитивно кажется, что плотность должна иметь максимум вблизи $1/4$

Интуиция Вас может не подводить, если будете рассуждать относительно вероятности. Но здесь речь о плотности, которая изменяется от 0 до $\infty$.

[gris]

Mihaylo, я имел в виду значение аргумента.
NSKuber, смоделировал в эксельке И правда — треть значений меньше одной десятой

[NSKuber]

gris
Матожидание действительно равно $1/4$, но с максимумом плотности это не сильно связано: взять, к примеру, то же показательное распределение.

[Mysterious Light]

gris, я своей интуиции в теорвере не доверяю и потому проверил в Вольфраме. Природа Вашей интуиции мне не понятна.

(Оффтоп)

[gris]

Я тоже проверил и обиделся на свою интуицию

[saygogoplz]

Всем спасибо. На свежую голову сам вывел этот результат. А после вспомним про форум, еще раз убедился в своей правоте.