2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 03:43 
Придумалась мне задачка. Пусть $\xi$ -- случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0,1]$, а $\eta$ -- случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0,\xi]$. Как найти плотность распределения для $\eta$? Ничего в голову не приходит.

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 04:30 
Аватара пользователя
$\eta < x$ при $\xi = y$ произойдёт с вероятностью $$\mathbb{P}(\eta < x | \xi = y) = \begin{cases} 1. & y < x, \\ \frac xy, & y\geqslant x. \end{cases}$$
Поскольку $\mathbb{P}(\eta < x) = \int_0^1 \mathbb{P}(\eta < x | \xi = y) \operatorname{d}\!y$ в случае нормального распределения $\xi$, $$\mathbb{P}(\eta < x) = \int_0^x dy + \int_x^1 \frac xy dy = x - x\ln x.$$
Плотность, соответственно, равна производной $p(x) = -\ln x$

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 08:25 
Аватара пользователя
А вроде бы чисто интуитивно кажется, что плотность должна иметь максимум вблизи $1/4$ :?:

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 09:30 
Mysterious Light
На всякий случай дополню, что плотность и функция распределения имеют такой вид при $x \in(0,1)$.
gris
По-моему интуитивно плотность как раз должна убывать: вероятность $\eta$ попасть в некоторую окрестность нуля отлична от нулевой при почти всех принимаемых $\xi$ значениях, а чем дальше от нуля, тем меньше.

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 10:05 
gris писал(а):
А вроде бы чисто интуитивно кажется, что плотность должна иметь максимум вблизи $1/4$ :?:

Интуиция Вас может не подводить, если будете рассуждать относительно вероятности. Но здесь речь о плотности, которая изменяется от 0 до $\infty$.

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 11:29 
Аватара пользователя
Mihaylo, я имел в виду значение аргумента.
NSKuber, смоделировал в эксельке :-) И правда — треть значений меньше одной десятой

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 11:45 
gris
Матожидание действительно равно $1/4$, но с максимумом плотности это не сильно связано: взять, к примеру, то же показательное распределение.

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 13:02 
Аватара пользователя
gris, я своей интуиции в теорвере не доверяю и потому проверил в Вольфраме. Природа Вашей интуиции мне не понятна.

(Оффтоп)

Изображение

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 13:08 
Аватара пользователя
Я тоже проверил и обиделся на свою интуицию :cry:

 
 
 
 Re: Терверчик. Распределение
Сообщение16.08.2015, 16:47 
Всем спасибо. На свежую голову сам вывел этот результат. А после вспомним про форум, еще раз убедился в своей правоте.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group