У Вацлава Серпинского тема упомянута. 61-я станица из 61-го года:
Весьма трудной задачей, как полагает Л. Ю. Морделл, является вопрос, имеет ли уравнение
![$x^3+y^3+z^3=3$ $x^3+y^3+z^3=3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/e/c9e6695494bdb0326fabe31138039cc482.png)
другие решения в целых числах
![$x, y, z,$ $x, y, z,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/0/0009a1beff2dedc4eadc3402954f10d682.png)
кроме решений (1, 1, 1) (4, 4, —5).
Легко доказать, что уравнение
![$x^3+y^3+z^3=1$ $x^3+y^3+z^3=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/9/879fa87ec9603ec0e5db0ddbf7fb5da882.png)
имеет бесконечное множество решений в целых числах
![$x, y, z.$ $x, y, z.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/9/6290723ffcfd37235a36e82f11a63c5182.png)
Это следует, например, из тождества
![$$(9n^4)^3+(1-9n^3)^3+(3n-9n^4)^3=1$$ $$(9n^4)^3+(1-9n^3)^3+(3n-9n^4)^3=1$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/d/96d9e003a4a72d249aef950b42ff05ab82.png)
для
![$n=1,2, ... $ $n=1,2, ... $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/5/7/65750fae60e67010fdd0f42e3f08807782.png)
.
Также и уравнение
![$x^3+y^3+z^3=2$ $x^3+y^3+z^3=2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/d/37d77cc0ca1c8d56853ef90f6e05d3ef82.png)
имеет бесконечное множество решений в целых числах
![$x, y, z,$ $x, y, z,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/0/0009a1beff2dedc4eadc3402954f10d682.png)
что вытекает из тождества
![$$(1+6n^3)^3+(1-6n^3)^3+(-6n^2)^3=2$$ $$(1+6n^3)^3+(1-6n^3)^3+(-6n^2)^3=2$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/1/da17498d80d15ad1149d2e3bc2c6dfc582.png)
Недавно были найдены все решения уравнения
![$x^3+y^3+z^3=k$ $x^3+y^3+z^3=k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/b/26be6b30376da69fc474ff3b4b0a608d82.png)
для целых
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, с абсолютной величиной
![$\leq 100$ $\leq 100$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/b/d9b45b46c50d2cfb0ec3a264ab963c9482.png)
, в целых числах
![$x, y, z,$ $x, y, z,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/0/0009a1beff2dedc4eadc3402954f10d682.png)
с абсолютной величиной
![$\leq 3164$ $\leq 3164$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/2/3f2ed70f58a33b790cdb2b2347de795882.png)
*).
Мы не знаем, имеет ли уравнение
![$x^3+y^3+z^3=30$ $x^3+y^3+z^3=30$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/8/d387e415c4c10dac5ed988e673412bac82.png)
хотя бы одно решение в целых числах
![$x, y, z.$ $x, y, z.$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/9/6290723ffcfd37235a36e82f11a63c5182.png)
Нетрудно доказать, что уравнение
![$x^3+y^3+z^3=t^2$ $x^3+y^3+z^3=t^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/f/ebfdae6f46166988b4665f1e3b9bb77582.png)
имеет бесконечное множество решений в различных натуральных числах
![$x, y, z, t.$ $x, y, z, t.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/a/72abba5e2626b18d6d0b1d95f2b7f06482.png)
Доказательство вытекает из тождества
![$$(u^4+2u)^3+(2u^3+1)^3+(3u^2)^3=(u^6+7u^3+1)^2.$$ $$(u^4+2u)^3+(2u^3+1)^3+(3u^2)^3=(u^6+7u^3+1)^2.$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/0/850443c731cc1382dc12d3dcc6d51da682.png)
Например, для
![$u=2$ $u=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/1/dc1780b71a25029a3c18f57705aa597582.png)
получаем
![$20^3+17^3+12^3=121^2=11^4. $ $20^3+17^3+12^3=121^2=11^4. $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/7/3c74f7eb10c46df7f25bc8dbafeda37e82.png)
Таким образом, здесь имеем также решение уравнения
![$x^3+y^3+z^3=w^4$ $x^3+y^3+z^3=w^4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/5/b4513e02d64a5b3433fa1a503cdae86582.png)
в натуральных числах
![$x, y, z, w.$ $x, y, z, w.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/a/7eaf5c3857d43e853f83f6e4d4ae008582.png)
Имеем также общее тождество
![$$(u^4+2uv^3)^3+(2vu^3+v^4)^3+(3u^2v^2)^3=(u^6+7u^3v^3+v^6)^2,$$ $$(u^4+2uv^3)^3+(2vu^3+v^4)^3+(3u^2v^2)^3=(u^6+7u^3v^3+v^6)^2,$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/e/6/5e62c2695b5d157efa5b1088d7daf76a82.png)
которое получаем из предыдущего заменой
![$u$ $u$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/b/6dbb78540bd76da3f1625782d42d6d1682.png)
числом
![$\frac{u}{v}$ $\frac{u}{v}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/4/c/54cbab279e413ed463466626564c2fa382.png)
и умножением затем обеих частей на
![$v^{12}$ $v^{12}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/1/6c1e204df7ba8026066e4e4eef8b4e3c82.png)
. Отсюда для
![$u=5$ $u=5$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/f/0bf2487049129875b5eca9343bb37ac682.png)
,
![$v=2$ $v=2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/0/fa0bd3a0fb0870a07c6ce8874a49e64982.png)
получаем
Имеет место также тождество Раманужана
![$$(3u^2+5uv-5v^2)^3+(4u^2-4uv+6v^2)^3+(5u^2-5uv-3v^2)^3=(6u^2-4uv+4v^2)^3.$$ $$(3u^2+5uv-5v^2)^3+(4u^2-4uv+6v^2)^3+(5u^2-5uv-3v^2)^3=(6u^2-4uv+4v^2)^3.$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/f/68f43a4e6cbca0c38f7acda36bbc1ca782.png)
Таким образом, например, для
![$u=1$ $u=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/6/7a66d43e1c02ed23c2a7b45b7d44963c82.png)
,
![$v=0$ $v=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/4/7/247f16ad8ce62694f8e4c90c158de37b82.png)
имеем
*) Ю. Ц. П. Миллер и М. Ф. Ц. В у л л е т т, Journal of
London Math. Soc, 30, стр. 101—110, 1955.