Достаточное условие всюду плотности

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #1044469 писал(а):

И было показано, что для метрических пространств оно , вообще говоря, неверно.

Где? Если Вы про классификацию Бэра, то она о другом: о поточечных пределах, а не о всюду плотности. $\mathbb R^X$ при $\lvert X\rvert>\aleph_0$ не является секвенциальным.

[el greco]

Someone
Можно считать, что для пар точек $x_1,x_k$ при $2\leqslant k\leqslant n$ существуют непрерывные функции $f_2,\dots,f_n$, что $f_kx_1=1, f_kx_k=0$ при $2\leqslant k\leqslant n$. Тогда $g_1=\prod\limits_{2}^{n}f_k$

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1044472 писал(а):

де? Если Вы про классификацию Бэра
, то она о другом: о поточечных пределах, а не о всюду плотности. $\mathbb R^X$ при $\lvert X\rvert>\aleph_0$ не является секвенциальным.

да, действительно, видимо, Brukvalub рассуждал следующим образом. Рассмотрим $C(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^\mathbb{R}$. Множество поточечных пределов последовательностей функций из $C(\mathbb{R})$ это множество измеримых по Борелю функций , и у нас вроде бы еще остаются в $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ неизмеримые функции. Но проблема в том, что брать надо все направленности, а не только последовательности.

[el greco]

Someone
В каждой точке строим такую функцию $g_k$, которую потом умножаем на нужную константу. А потом складываем все $g_k$, верно?

[Brukvalub]

Oleg Zubelevich в сообщении #1044481 писал(а):

(Оффтоп)

Someone в сообщении #1044472 писал(а):

де? Если Вы про классификацию Бэра
, то она о другом: о поточечных пределах, а не о всюду плотности. $\mathbb R^X$ при $\lvert X\rvert>\aleph_0$ не является секвенциальным.

да, действительно, видимо, Brukvalub рассуждал следующим образом. Рассмотрим $C(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^\mathbb{R}$. Множество поточечных пределов последовательностей функций из $C(\mathbb{R})$ это множество измеримых по Борелю функций , и у нас вроде бы еще остаются в $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ неизмеримые функции. Но проблема в том, что брать надо все направленности, а не только последовательности.

Да, похоже, что я именно здесь проврался.

[Someone]

el greco в сообщении #1044474 писал(а):

Someone
Можно считать, что для пар точек $x_1,x_k$ при $2\leqslant k\leqslant n$ существуют непрерывные функции $f_2,\dots,f_n$, что $f_kx_1=1, f_kx_k=0$ при $2\leqslant k\leqslant n$. Тогда $g_1=\prod\limits_{2}^{n}f_k$

Да. Теперь для точек $x_1,x_2,\ldots x_n$ зададим произвольные числа $c_1,c_2,\ldots c_n\in\mathbb R$. Как получить функцию, для которой $fx_k=c_k$?

Как только с этим справитесь, начинайте писать доказательство.

Oleg Zubelevich в сообщении #1044481 писал(а):

Но проблема в том, что брать надо все направленности, а не только последовательности.

Да. Но в данном случае возиться с направленностями не надо, достаточно определения всюду плотного множества и определения тихоновской топологии.

[el greco]

Someone
выше коммент

[Someone]

el greco в сообщении #1044490 писал(а):

выше коммент

Где? Нужно давать точную ссылку. Ссылку содержит маленький прямоугольник в правой части заголовка сообщения.

[el greco]

Someone
http://dxdy.ru/post1044482.html#p1044482

[Someone]

Прошу прощения, увидел:

el greco в сообщении #1044482 писал(а):

В каждой точке строим такую функцию $g_k$, которую потом умножаем на нужную константу. А потом складываем все $g_k$, верно?

Верно. Теперь, отталкиваясь от определений всюду плотного множества и тихоновской топологии, доказываем, что множество непрерывных функций всюду плотно в $\mathbb R^X$.

[el greco]

Someone
Спасибо. Прощу прощения за вопрос в целом, сглупил на ровном месте.

[Someone]

(el greco)

Да ладно, иногда такие затмения находят…

[g______d]

el greco в сообщении #1044427 писал(а):

g______d
А что это даст?

http://mathoverflow.net/questions/31271 ... functions/

-- Ср, 12 авг 2015 03:02:27 --

Я, правда, в своём первом ответе имел в виду более простое и неверное рассуждение, но потом нашёл ссылку на верное.

-- Ср, 12 авг 2015 03:38:37 --

Oleg Zubelevich в сообщении #1044481 писал(а):

Рассмотрим $C(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^\mathbb{R}$. Множество поточечных пределов последовательностей функций из $C(\mathbb{R})$ это множество измеримых по Борелю функций , и у нас вроде бы еще остаются в $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ неизмеримые функции. Но проблема в том, что брать надо все направленности, а не только последовательности.

Тоже не понял, в чём проблема. Даже если мы берём направленности, то неизмеримую функцию не получим никакими силами.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1044782 писал(а):

Тоже не понял, в чём проблема.

Вот в чем:

Someone в сообщении #1044472 писал(а):

Если Вы про классификацию Бэра, то она о другом: о поточечных пределах, а не о всюду плотности. $\mathbb R^X$ при $\lvert X\rvert>\aleph_0$ не является секвенциальным.

[g______d]

Хм, да. Предел по сети измеримых функций не обязан быть измеримым. Не знал.