Теорема Борсука-Улама

[maximk]

На странице 48 книги Хатчера по алгебраической топологии после формулировки теоремы в размерности 2 автор пишет: "Столь ли очевидно, например, что в любой момент времени должна найтись пара диаметрально противоположных точек на поверхности земли, в которых одинаковы температуры и одинаковы атмосферные давления?"
А разве наша планета удовлетворяет топологическим свойствам сферы? И причем здесь температура и атмосферное давление, момент времени? Какое отношение они имеют к непрерывным преобразованиям сферы в плоскость?
Понятно, что точке на сфере ставится в соответствие точка на плоскости, но конкретно этот пример непонятен.

[dsge]

maximk в сообщении #1043102 писал(а):

А разве наша планета удовлетворяет топологическим свойствам сферы?

Поверхность нашей планеты удовлетворяет.

maximk в сообщении #1043102 писал(а):

И причем здесь температура и атмосферное давление, момент времени?

Температура и атмосферное давление являются примерами непрерывных функций, заданных в точках поверхности Земли. Момент времени -имеется ввиду всегда.
А на окружности имеются ли такие точки для любой непрерывной функции, определённой на окружности?

[Someone]

Поверхность Земли с хорошей точностью можно считать сферой, но это не важно. Важно то, что внутри Земли можно взять точку ("центр") со следующим свойством: любая прямая, проходящая через этот "центр", пересекает поверхность в двух точках, и при вращении прямой эти точки движутся по поверхности непрерывно (формализацию этого оставляю Вам). Отсюда легко получить гомеоморфизм поверхности на сферу. Пару точек поверхности, лежащих на на одной прямой с центром, будем называть "диаметрально противоположными".

Зафиксируем некоторый момент времени и измерим в этот момент температуру и атмосферное давление. Предполагаем, что температура и давление являются непрерывными функциями точки. Эту пару чисел будем рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости. В результате получим непрерывное отображение поверхности Земли в плоскость. По упомянутой теореме существует пара диаметрально противоположных точек, отображающихся в одну точку плоскости. Стало быть, в этих точках одинаковые атмосферное давление и температура.

[Oleg Zubelevich]

это банальное следствие теореммы о причесывании ежа или мне показалось?

-- Чт авг 06, 2015 21:49:21 --

maximk в сообщении #1043102 писал(а):

к на поверхности земли, в которых одинаковы температуры и одинаковы атмосферные давления?"

а еще можно так давление равно температура, а температура давлению

[maximk]

dsge, должна быть верна и для окружности. Посмотрите доказательство этой теоремы (например у того же Хатчера). Думаю, разберетесь.
Спасибо, друзья! Разобрался.
Да и вообще здесь целое поле интерпретаций.

[dsge]

maximk

(Оффтоп)

Спасибо, я в курсе. Это был наводящий вопрос для Вас.

[Someone]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043152 писал(а):

это банальное следствие теореммы о причесывании ежа или мне показалось?

Э-э-э… Не могу сообразить, какая тут связь с теоремой о еже. Правда, я доказательствами обеих теорем никогда не интересовался.
Теорема Борсука—Улама верна для непрерывных отображений $\mathbb S^n\to\mathbb R^n$ во всех размерностях, а теорема о еже — для чётномерных сфер.

Интересно, что есть аналог этой теоремы для кнопок. Кнопка в $\mathbb R^3$ — это плоский диск некоторого радиуса $r>0$, из центра которого перпендикулярно плоскости диска торчит отрезок длины $r$ (длина отрезка равна радиусу диска). Оказывается, при любом непрерывном отображении кнопки в плоскость найдутся две точки с одинаковыми образами, расстояние между которыми равно $r$. Теорема допускает обобщение на другие размерности.

Oleg Zubelevich в сообщении #1043152 писал(а):

а еще можно так давление равно температура, а температура давлению

Нельзя. У них диапазоны значений различные.

[Oleg Zubelevich]

я то вообще только про двумерную сферу говорил. Пусть $f,g:S^2\to\mathbb{R}$ -- функции из условия задачи. Введем векторное поле $u(x)=(f(x),g(x))$. Применим теорему о причесывании ежа к векторному полю $w(x)=u(x)-u(-x)$.

Someone в сообщении #1043239 писал(а):

Нельзя. У них диапазоны значений различные.

Скажите еще размерности. Можно. Очевдной можификацией предыдущего рассуждения.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043272 писал(а):

Введем векторное поле $u(x)=(f(x),g(x))$.

Что это значит? Если бы так можно было векторные поля вводить, никакой теоремы о непричесывании не было бы.

[Oleg Zubelevich]

Да это у меня промашка вышла.

[Mikhail_K]

Oleg Zubelevich в сообщении #1043272 писал(а):

Someone в сообщении #1043239 писал(а):

Нельзя. У них диапазоны значений различные.

Скажите еще размерности. Можно. Очевдной можификацией предыдущего рассуждения.

Очевидно нельзя. Например, если температуру будете измерять в шкале, в которой 0 - это тысяча градусов, а все земные температуры, соответственно, отрицательны. Давление же отрицательным не бывает. Разные диапазоны.

[maximk]

Интересно, чем еще можно заменить температуру и давление так, чтобы интерпретация теоремы осталась верной? Может есть что-то более неожиданное о некоторых диаметрально противоположных точках на поверхности земли, чего мы не знаем?

[Hasek]

maximk в сообщении #1043936 писал(а):

Интересно, чем еще можно заменить температуру и давление так, чтобы интерпретация теоремы осталась верной? Может есть что-то более неожиданное о некоторых диаметрально противоположных точках на поверхности земли, чего мы не знаем?

Так любые непрерывные функции же подойдут. Возьмите что угодно на Ваш вкус. Да, я понимаю, что действительно непрерывных функций в физике никогда не бывает, но мы пользуемся неким интуитивным приближением до разумных пределов.

[maximk]

Hasek в сообщении #1044024 писал(а):

maximk в сообщении #1043936 писал(а):

Интересно, чем еще можно заменить температуру и давление так, чтобы интерпретация теоремы осталась верной? Может есть что-то более неожиданное о некоторых диаметрально противоположных точках на поверхности земли, чего мы не знаем?

Так любые непрерывные функции же подойдут. Возьмите что угодно на Ваш вкус. Да, я понимаю, что действительно непрерывных функций в физике никогда не бывает, но мы пользуемся неким интуитивным приближением до разумных пределов.

А где границы этих разумных пределов? Являются ли температура и давление непрерывными функциями в действительности? И если нет, то насколько неточен тот факт, что найдутся диаметрально противоположные точки на поверхности земли с этими одинаковыми свойствами?
А что если предположить, что существование неких "микроорганизмов" двух типов (видов) есть непрерывные функции точки на поверхности земли?

[Hasek]

maximk в сообщении #1044053 писал(а):

Hasek в сообщении #1044024 писал(а):

maximk в сообщении #1043936 писал(а):

Интересно, чем еще можно заменить температуру и давление так, чтобы интерпретация теоремы осталась верной? Может есть что-то более неожиданное о некоторых диаметрально противоположных точках на поверхности земли, чего мы не знаем?

Так любые непрерывные функции же подойдут. Возьмите что угодно на Ваш вкус. Да, я понимаю, что действительно непрерывных функций в физике никогда не бывает, но мы пользуемся неким интуитивным приближением до разумных пределов.

А где границы этих разумных пределов? Являются ли температура и давление непрерывными функциями в действительности? И если нет, то насколько неточен тот факт, что найдутся диаметрально противоположные точки на поверхности земли с этими одинаковыми свойствами?
А что если предположить, что существование неких "микроорганизмов" двух типов (видов) есть непрерывные функции точки на поверхности земли?

Попробую объяснить, что я имею в виду. Вот, предположим, вы смотрите на обычный стол в комнате, он кажется вам "непрерывным" и однородным. Вы не видите в нём пустот и трещин. Но если посмотреть в достаточно сильный микроскоп, то можно обнаружить, что материал стола состоит из молекул, которые в свою очередь состоят из атомов, а атом -- это маленькое атомное ядро и "пустота", значительно большая ядра, вокруг него. То есть при очень близком рассмотрении стол (как и всё) состоит из ...пустоты! Но он нам кажется однородным и сплошным.
Теперь переходим к температуре. Она -- мера состояния и описывает среднюю кинетическую энергию всех частиц в системе (я не очень хорош в физике, но насколько помню, это так, если нет -- поправьте с точной формулировкой). Важно то, что температура напрямую завязана с энергией. Энергия же по квантовой теории квантуется, то есть изменяется не непрерывно в математическом смысле, а "маленькими шажками". (Тут я опять не уверен в своей физической подготовке -- энергия любой ли системы квантуется? Или если значения энергии -- это спектр гамильтониана некоторой системы, может ли у него быть непрерывный спектр? Пусть кто-то более осведомлённый меня поправит.) Но нам как обывателям, измеряющим ту же температуру обычным термометром, нет дела до её дискретного изменения -- оно настолько мало для нас, что мы вправе считать её изменение непрерывным. Аналогично с давлением.
Возможно Ваше предположение о существовании каких-то "микроорганизмов" справедливо. Я не биолог и не знаю, какие нюансы в ареалах их обитания, можно ли считать их расселение достаточно непрерывным.