Фейнмановский интеграл

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Ну в этом случае все давно сравнили еще при жизни изобретателя
этой "теории". Разумеется ответ совпадает. Я вам приведу кучу примеров,
когда это все работает в жутко нелинейном случае и ответ можно легко
проверить на персоналке.

Интересно, а Вы сами вычисляли интегралы на компьютере? Вычисляли интегралы численно в допредельной форме?

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Ну в этом случае все давно сравнили еще при жизни изобретателя
этой "теории". Разумеется ответ совпадает. Я вам приведу кучу примеров,
когда это все работает в жутко нелинейном случае и ответ можно легко
проверить на персоналке.

Интересно, а Вы сами вычисляли интегралы на компьютере? Вычисляли интегралы численно в допредельной форме?

Там речь не о тех вычислениях. На компьютере Вы будете решать
диф. уравнение. Ну например (1) dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с Я Вам дам его
интеграл в замкнутом виде, ну типа (2) А(t, с,x(t))=0. Функция А(.,.,. ) получена
в результате теоретического вычисления некоторого негауссовского функционального интеграла.Уравнения (1) и (2) решаются численно и результаты можно сравнить. Поскольку
они совпадают с огромной точностью, то это значит что соответствующий интеграл был вычислен верно. На решетке я разумеется ничего не считаю, я не Архимед.

[Dolopihtis]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Борис Лейкин писал(а):

А правда ли то, что для феймановских интегралов по траекториям не существует строгого математического обоснования, и что, вообще, это означает?

Это вопрос скорее к математикам. По-видимому в рамках классического мат. анализа строгого обоснования действительно нет. По крайней мере мне это не известно.

Я где -то читал, что обоснование есть для траекторий в евклидовом пространстве, а в псевдоевклидовом - нет. Для этого придумали Виковское вращение t --> it , которое переводит второе в первое.

[Аурелиано Буэндиа]

Dolopihtis писал(а):

Я где -то читал, что обоснование есть для траекторий в евклидовом пространстве, а в псевдоевклидовом - нет. Для этого придумали Виковское вращение t --> it , которое переводит второе в первое.

Если рассматривать плоское псевдоевклидовое пространство, то есть 2-а способа сделать интеграл сходяшимся. Один Вы упомянули (Виковский поворот), а второй способ добавить в лагранжиан слагаемое типа $i\epsilon \phi^2$, и потом устремить $\epsilon$ к 0+. А сейчас народ уже давно работает с интегралами не только в псевдоевклидовом, но и в псевдоримановом пространстве. К вопросу математического обоснования (о котором спрашивал Борис) относится вопросы сходимости допредельных форм интеграла. А физическим обоснованием может быть его адекватность стандартной квантовой теории поля.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

На компьютере Вы будете решать
диф. уравнение. Ну например (1) dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с Я Вам дам его
интеграл в замкнутом виде, ну типа (2) А(t, с,x(t))=0. Функция А(.,.,. ) получена
в результате теоретического вычисления некоторого негауссовского функционального интеграла.Уравнения (1) и (2) решаются численно и результаты можно сравнить. Поскольку
они совпадают с огромной точностью, то это значит что соответствующий интеграл был вычислен верно.

Неужели можно свести все к такому простому уравнению? Это если решать через Фокера-Планка? Нельзя ли уточнить?

[Котофеич]

Да нет конечно. Я взял простой пример, только для того чтобы на нем продемонстрировать применение некоторой общей теоремы, которая позволяет вычислять негауссовский функциональный интеграл. Суть примера в том, что методами математического анализа, даже для простейшего уравнения вида (1) невозможно получить точную формулу для решения, а методами теории функционального интегрирования, это можно сделать. Уравнение (1) можно решить численно методом Эйлера, а уравнение
(2) мы получим как следствие некоторой общей теоремы, а результаты потом сравним.
Уравнение (2) в данном случае это некоторое транцендентное уравнение, которое тоже
легко решить численно. В общем случае оба уравнения (1) и (2) могут быть очень сложными
но метод все равно работает. Я постепенно выпишу основные шаги вычисления функционального интеграла для этого простого примера. Квантовать будем методом
Нелсона, т.е. используем формализм стохастического квантования. Кто с этим не знаком,
может здесь ознакомиться
А.А. Мигдал, СТОХАСТИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ
http://www.ufn.ru/archive/russian/abstr ... t6719.html

Таким образом переходим от классического детерминированного уравнения

(1) dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с,
к уравнению Ланжевена.

Уравнение Ланжевена в данном случае имеет следующий вид

(2) dx(ω,t)/dt=-x(ω,t)^3+5x(ω,t)^2+t^5+s[dW(ω,t)/dt] ,x(ω,0)=с, 0<s<1,

W(t)-стандартный винеровский процесс,dW(t)/dt-белый шум.

Идея решения задачи (1) на основе метода функционального интегрирования, состоит в
следующем. Уравнение (1) обладает грубо говоря высокой степенью диссипативнсти и
можно показать, что при достаточно малых s величина среднеквадратичного отклонения
М[x(ω,t)-x(t)]^2 удовлетворяет оценке

(3) 0<М[x(ω,t)-x(t)]^2<δ≪1

Среднее значение М[x(ω,t)] мы можем представить в виде функционального интеграла.
Если этот интеграл мы сможем вычислить в замкнутом виде,

(4) А(t, с,x(t))=0,

то в силу оценки (3) мы получим практицки тоцное решение исходной класической задачи.
С другой стороны решив уравнение (1) численным методом, мы сможем убедиться что
оценка (3) действительно выполняется.В рассматриваемом примере, замкнутое выражение для М[x(ω,T], в форме функционального интеграла имеет следующий вид

(5) М[x(ω,T,s]= ∫u ∫exp{-1/√s[∫[dx/dt-(-x^3+5x^2+t^5)]^2dt]Dx(t)du,
где интегрирование производится по всем траекториям x(t), удовлетворяющим граничным
условиям

(6) х(0)=c, x(T)=u.
Перед тем как вычислять интегралы вида (5) необходимо сделать ряд замечаний.
1. В современной физической литературе, широко распространено [b]глубоко ошибочное
утверждение, что для s≈0 любой интеграл вида (5) можно вычислить методом Лапласа.
Другими словами утверждается, что справедлива приближенная формула

(7) М[x(ω,T,s]≈x(T) +O(s^k), s≈0,k>1,

точность которой неограниченно возрастает при s→0 .
В дальнейшем мы покажем, что формула (7) справедлива только при некоторых очень
сильных дополнительных ограничениях на потенциал взаимодействия
2. Даже в тех случаях, когда формула (7) и выполняется с хорошей точностью, мы не
можем с ее помощью получить в замкнутом виде (2), даже решение простейшей задачи (1).
3. Для построения конструктивного алгоритма вычисления функционального интеграла (5),
используется некоторая очень сильная априорная оценка этого интеграла, которая
в наших обозначениях, имеет следующий вид

(8) $ M[x(\omega,T,s)]^2<B(t,c)$,
где функция $ B(t,c)$ всегда может быть построена в явном виде, как решение
некоторого уже линейного дифференциального уравнения, коэффициенты которого, однозначно определены в зависимости от коэффициентов уравнения (1).
4. Для того чтобы применить оценку (8) для построения решения уравнения (1) используется
замена переменных

(9) $u(\omega,T,s)=x(\omega,T,s)-z $,
где z некоторый произвольный параметр.
Выполнив замену переменных (9) в исходном уравнении (2) и применив оценку (8) к новому
уравнению, мы получим неравенство
(10) $M[u(\omega,T,s)]=M[x(\omega,T,s)-z]^2<A(t,c,z), s\to0$.
Таким образом задача сводится к построению решений трансцендентного уравнения
(11) $A(t,c,z(t))=0$.
Теперь мы сформулируем теорему, которая дает прямой метод для вычисления функции
$A(t,c,z(t))$.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Квантовать будем методом
Нелсона, т.е. используем формализм стохастического квантования. Кто с этим не знаком,
может здесь ознакомиться
А.А. Мигдал, СТОХАСТИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ
http://www.ufn.ru/archive/russian/abstr ... t6719.html

Спасибо за ссылку. начал читать

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Квантовать будем методом
Нелсона, т.е. используем формализм стохастического квантования. Кто с этим не знаком,
может здесь ознакомиться
А.А. Мигдал, СТОХАСТИЧЕСКОЕ КВАНТОВАНИЕ ТЕОРИИ ПОЛЯ
http://www.ufn.ru/archive/russian/abstr ... t6719.html

Спасибо за ссылку. начал читать

Вот еще статья с реанимацией канонического подхода к квантованию гравитации,
который давно зашел в тупик.
http://data.ufn.ru//ufn96/ufn96_5/Russian/r965b.pdf
Метод стохастического квантования лишен практически всех трудностей, канонического
подхода.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич, а Вы вникали в квантование на многообразиях?
В книге Попова (стр 17) рассматривается квантование на торе из которого потом следует квантование постоянной Планка Березина. Не подскажите почему по переменной $y_1$ (она выступает как аналог импульса, насколько я понимаю) нужно интегрировать в конечных пределах (от 0 до b), а по $y_2...y_N$ по всей оси R^1?
Там сказано, что это очевидно.

Кажется дошло... как до жирафа

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич, а Вы вникали в квантование на многообразиях?
В книге Попова (стр 17) рассматривается квантование на торе из которого потом следует квантование постоянной Планка Березина. Не подскажите почему по переменной $y_1$ (она выступает как аналог импульса, насколько я понимаю) нужно интегрировать в конечных пределах (от 0 до b), а по $y_2...y_N$ по всей оси R^1?
Там сказано, что это очевидно.

Кажется дошло... как до жирафа

У него первая координата принадлежит окружности, поэтому он и интегрирует
в конечных пределах, только нужно интегрировать в классе функций, которые на концах
интервала принимают равные значения. Вообще то это очень плохая книжка для первоначального ознакомления малопригодна. Геометрическим квантованием я всегда
занимался но к физике это по моему не очень большое отношение имеет, это просто
важный мат. аппарат для геометрической топологии. Книг много. Вот например
Геометрическое квантование (Кириллов А. А.)http://nehudlit.ru/0/1/3/
Вы лучше читайте Мигдала. Эти уравнения Ланжевена и оказались ключом к вычислению
интегралов.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

У него первая координата принадлежит окружности, поэтому он и интегрирует
в конечных пределах, только нужно интегрировать в классе функций, которые на концах
интервала принимают равные значения. Вообще то это очень плохая книжка для первоначального ознакомления малопригодна. Геометрическим квантованием я всегда
занимался но к физике это по моему не очень большое отношение имеет, это просто
важный мат. аппарат для геометрической топологии. Книг много. Вот например
Геометрическое квантование (Кириллов А. А.)http://nehudlit.ru/0/1/3/
Вы лучше читайте Мигдала. Эти уравнения Ланжевена и оказались ключом к вычислению
интегралов.

Спасибо. Меня заинтересовал этот параграф, поскольку мне показалось что в каноническом подходе нет аналога квантования на торе с помощью интеграла Фейнмана. В конечном итоге это приводит к квантованию фазового обьема и постоянной Планка, что само по себе очень забавный факт.
Мигдала читаю.

[Котофеич]

Да нет. В каноническом подходе все это тоже есть. Например кратко в книжке
по теории узлов у Атья. Более детально здесь
Тюрин А.Н. Квантование, классическая и квантовая теории поля и тэта-функции.
http://lib.mexmat.ru/books/7218
Стохастическое квантование это не просто только переформулировка канонического
подхода. Там более глубокая физика. С чисто математической точки зрения ланжевеновские
сила это только формальный прием, но на самом деле это именно те силы, что движут мирами.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

Таким образом переходим от классического детерминированного уравнения

(1) dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с,
к уравнению Ланжевена.

Уравнение Ланжевена в данном случае имеет следующий вид

(2) dx(ω,t)/dt=-x(ω,t)^3+5x(ω,t)^2+t^5+s[dW(ω,t)/dt] ,x(ω,0)=с, 0<s<1,

Что то я не нашел у Мигдала и намека на ваш непертрубативный подход. Там те же самые диаграммы!
Давайте лучше вместо уравнения $dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с$
разберем Ваш метод на примере кубического осцилятора
$\ddot{x}=-x^3+t^5, \ \ x(0)=0, \ \ x(1)=a$

[Котофеич]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Котофеич писал(а):

Таким образом переходим от классического детерминированного уравнения

(1) dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с,
к уравнению Ланжевена.

Уравнение Ланжевена в данном случае имеет следующий вид

(2) dx(ω,t)/dt=-x(ω,t)^3+5x(ω,t)^2+t^5+s[dW(ω,t)/dt] ,x(ω,0)=с, 0<s<1,

Что то я не нашел у Мигдала и намека на ваш непертрубативный подход. Там те же самые диаграммы!
Давайте лучше вместо уравнения $dx/dt=-x^3+5x^2+t^5,x(0)=с$
разберем Ваш метод на примере кубического осцилятора
$\ddot{x}=-x^3+t^5, \ \ x(0)=0, \ \ x(1)=a$

Мигдал с его статьей нужен Вам только для того, чтобы ознакомиться с
квантовополевым аналогом уравнений Ланжевена. Начинать будем с одномерного
случая, а потом уже рассмотрим осциллятор, потому что суть метода не зависит от
размерности, а в одномерном случае вычисления намного проще.

[Аурелиано Буэндиа]

Котофеич писал(а):

В рассматриваемом примере, замкнутое выражение для М[x(ω,T], в форме функционального интеграла имеет следующий вид

(5) М[x(ω,T,s]= ∫u ∫exp{-1/√s[∫[dx/dt-(-x^3+5x^2+t^5)]^2dt]Dx(t)du,
где интегрирование производится по всем траекториям x(t), удовлетворяющим граничным
условиям

(6) х(0)=c, x(T)=u.

Ну допустим, а интегрирование по $u$ обязательно? Может для начала без него? Кстати, какую роль играет $s$ во всей этой кухне? Можно найти то что нам нужно (амплитуда перехода) положив $s=1$. И самый главный вопрос как будем считать интеграл?