Задачка про брак на тервер

[pashamt8]

Есть мастер, который определяет брак с вероятностью 95%.

Поступила партия, в которой 1% бракованных деталей.

Мастер берет деталь и говорит, что она бракованная.

Какова вероятность, что он прав??

Я начал решать с теоремой Байеса.
События $A$ - мастер прав, событие $B$ - деталь бракованная.

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdotP(A)}{P(B)}=\frac{(0,01\cdot0,95)\cdot0,95}{0,01}=0,9$

Я так понимаю, чушь? Иначе выходит, что вероятность правильного ответа мастера не зависит от брака в партии деталей.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Не надо разрывать формулу. Одна формула должна быть целиком заключена в знаки долларов.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Someone]

pashamt8 в сообщении #1043556 писал(а):

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}=\frac{(0,01\cdot0,95)\cdot0,95}{0,01}=0,9$

$0{,}9025$ (на всякий случай). (Поправил ошибку в коде формулы.)

pashamt8 в сообщении #1043556 писал(а):

События $A$ - мастер прав, событие $B$ - деталь бракованная.

…

Я так понимаю, чушь?

Вам надо найти вероятность того, что "мастер прав", при условии, что "мастер сказал, что деталь бракованная". Вероятность того, что "мастер прав", при условии, что "деталь бракованная", по условию равна $0{,}95$, а не тому, что Вы насчитали.

[pashamt8]

Тогда, если $A$ - мастер прав, при условие $B$ - мастер сказал, что деталь бракованная.

$P(B|A)=0,01$\cdot0,95$ - т.к. у нас $1%$ бракованных деталей, мастер прав в $95%$ случаев.

$P(A)=0,95$ - мастер может определить верный результат в 95% случаев

$P(B)=0,01\cdot0,95$ - мастер скажет о браке для 1% деталей в 95% случаев

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdotP(A)}{P(B)}=\frac{(0,01\cdot0,95)\cdot0,95}{0,01$\cdot0,95}=0,95$

[Legioner93]

pashamt8 в сообщении #1043556 писал(а):

События $A$ - мастер прав, событие $B$ - деталь бракованная.

Лучше так:
$A$ - мастер говорит, что деталь бракованная
$B$ - деталь бракованная

Вам нужно найти $P\{B | A\}$

[Sender]

Legioner93 в сообщении #1043642 писал(а):

Лучше так:

Да, и первое условие, как мне кажется, следует интерпретировать как $P\{A | B\}=P\{\overline A | \overline B\}=0,95$

[Legioner93]

Sender в сообщении #1043645 писал(а):

Да, и первое условие, как мне кажется, следует интерпретировать как $P\{A | B\}=P\{\overline A | \overline B\}=0,95$

Согласен, это самое естественное понимание.
Зато не очень реалистичное, false positive и false negative не обязаны быть равновероятны

[iancaple]

У меня другое решение. Предполагаем, как и раньше, что вероятность ошибки мастера и в ту, и в другую сторону 5%.Иначе в задаче не хватает данных.
Мастер сказал, что брак. В каких случаях это могло біть?
1) действительно брак, $0,01*0,95=0,0095$
2) не брак. а мастер ошибся $0,99*0,05=0,0495$
По формуле Байеса, вероятность случая 1-это доля $\dfrac{0,0095}{0,0095+0,0495}=0,1601$ -это ответ задачи
И по-житейски: кто скорее виноват, что деталь будет выброшена- рабочий, ошибающийся в 1% случаев, или мастер, ошибающийся в 5% ?
А обозначения -сами присвоите, сбивают они вас

[atlakatl]

Legioner93 в сообщении #1043647 писал(а):

Согласен, это самое естественное понимание.
Зато не очень реалистичное, false positive и false negative не обязаны быть равновероятны

Это задача, а не реальная ситуация. Потому допускается только три гипотезы о трактовке автора:
1. Годная деталь всегда признаётся годной.
2. Годная деталь признаётся годной с $p=0,95$.
3. Годная деталь всегда признаётся бракованной (да-да, глюк из 1937 года).
Все три случая решаются однотипно, зато позволяют лучше понять байесовскую теорему.

iancaple в сообщении #1043654 писал(а):

И по-житейски: кто скорее виноват, что деталь будет выброшена- рабочий, ошибающийся в 1% случаев, или мастер, ошибающийся в 5% ?

Иногда напрасная отбраковка ста годных деталей стоит много меньше, чем пропуск в дело хоть одной бракованной.

[pashamt8]

Всем спасибо! Вечно у меня проблемы с теоремой и с теорией вероятности в целом.

Зафиксирую

событие $A$ - мастер говорит, что деталь бракованная
событие $B$ - деталь бракованная

$P(A|B)=\frac{P(B|A)\cdotP(A)}{P(B)}$

$P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)}$

$P(A|B)=0,95$
$P(B)=0,01$
$P(A)=0,01*0,95+0,99*0,05$

Итог:
$P(B|A)=16,1$\%$$

[Lia]

iancaple
Замечание за полное решение простой учебной задачи.

iancaple
pashamt8
Для знака умножения, если он действительно нужен, используется \cdot.