На всякий случай выложу тот первый, краткий вариант доказательства, о котором я тогда говорил -- вдруг кому пригодится.
1. Докажем, что неотрицательная функция

достигает своего глобального минимума
в некоторой точке

.
Выберем последовательность чисел

такую, что

.
Если

достаточно велико, то


и, следовательно,

неограниченно возрастает с ростом

.
Поэтому из ограниченности последовательности

следует ограниченность

,
а вместе с ней и ограниченность последовательностей

и

.
Выберем из последовательности

подпоследовательность, по которой

сходится к некоторому

, а из неё, в свою очередь, подпоследовательность

,
по которой

сходится к некоторому

; пусть

.
Тогда

при

.
Многочлен

обращается в ноль в точке

,
поэтому

, причём многочлен

ограничен в окрестности точки

.
Следовательно,

Это означает, что

,
т.е. что

-- точка глобального минимума

.
2. Предположим, что

, и сделаем замену

; тогда

, где

и

(т.е.

-- младший из ненулевых коэффициентов при положительных степенях

).
Зафиксируем аргумент переменной

так, чтобы независимо от её модуля выполнялось

(так будет, если взять

, т.е.

). Далее,

при всех достаточно малых

(достаточно взять

).
Таким образом, при выбранном

и достаточно малых


Это противоречит тому, что значение

является минимальным.
Следовательно,

.
В принципе, всё и достаточно коротко, и достаточно подробно, и без никаких внешних ссылок (не считая ссылки на одномерный принцип компактности, но это уж святое и вовсе на этот момент не криминально). Однако читать это всё-таки невозможно.