Основная теорема алгебры

[ex-math]

Ну да, надо было не $-\arg $, а $\pi+\arg $. Тем не менее, идею все поняли: сделать так, чтобы получилось вычитание. Перестаньте цепляться к мелочам.

[ewert]

Ну меня эта тема заинтриговала, и я попытался набить полноценное доказательство -- так, чтобы оно и не выходило за рамки первой половины первого семестра, и выглядело более-менее литературно (без излишне формализованных игрищ с кванторами), и более-менее честно (без откровенных размахиваний руками).

Удалось втиснуть всё это дело в примерно одну стандартно типографскую страничку или чуть больше. Что, в принципе, и было бы вполне приемлемо, если бы не одно обстоятельство: получилась совершенно ужасающая мешанина совершенно разнородных идеологий. Т.е. "формально всё верно, а по существу -- издевательство" (c)

Тогда я решил вычленить ключевые вспомогательные факты в некоторые предварительные утверждения. Текст раздулся почти вдвое; что, в принципе, тоже не бог весть какая беда, но там беда получилась в другом. Среди этих предварительных вещей пришлось ввести, в частности, понятие сходимости на комплексных числах (в первом, рафинированном варианте это можно обойти, но получается безыдейно). И прочее подобное. А это -- отвратительно преждевременно.

В общем, остаюсь при исходном мнении: "идея хорошая, но не для нашего климата" (c). Для регулярного курса не годится. Годится для факультатива. Или вот, слава аллаху, сейчас есть интернет; вполне можно вывесить подобный текст на кафедральном сайте в качестве какого-нибудь методического прибамбаса. Кто из студентов математикой интересуется -- тот прочтёт и осознает; ну а для прочих довольно будет и формулировки теоремы.

[nnosipov]

А это не то доказательство, что в книге Кострикин А. И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. на стр. 234? Тоже всё элементарно.

[ewert]

В принципе -- да, т.е. там та же идея. Только изложение раза в два длиннее и ещё зануднее. Кроме того, два ключевых факта: о непрерывности многочлена на $\mathbb C$ и двумерную теорему Вейерштрасса он не доказывает, а отсылает к учебникам по анализу; для где-то середины или даже конца 1-го семестра это неприемлемо.

[alphavector]

Вот здесь можно изучить олимпиадное доказательство доступное толковому старшекласснику:
http://www.mccme.ru/circles/oim/ruffidet.pdf

[ewert]

alphavector в сообщении #1040919 писал(а):

Вот здесь можно изучить олимпиадное доказательство доступное толковому старшекласснику:
http://www.mccme.ru/circles/oim/ruffidet.pdf

Там его изучить нельзя, т.к. разрешимость в радикалах не имеет ни малейшего отношения к данной ветке.

Это уж не говоря о том, что текст по ссылке читать просто невозможно ввиду его абсолютного разгильдяйства.

[nnosipov]

Вот ссылка (на всякий случай) на коллекцию доказательств основной теоремы алгебры: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... bookID=654 (раздел "Тема номера: основная теорема алгебры")

[deep down]

Всем ещё раз спасибо за ссылки и замечания.

ewert в сообщении #1040555 писал(а):

"идея хорошая, но не для нашего климата"

видимо, печальная правда.

[ewert]

На всякий случай выложу тот первый, краткий вариант доказательства, о котором я тогда говорил -- вдруг кому пригодится.

Цитата:

1. Докажем, что неотрицательная функция $|P(z)|$ достигает своего глобального минимума
в некоторой точке $z_0$.
Выберем последовательность чисел ${z_n=x_n+i\,y_n}$ такую, что
${\lim\limits_{n\to\infty}|P(z_n)|=\inf\limits_{z\in\mathbb C}|P(z)|}$.
Если $|z|$ достаточно велико, то

$$|P(z)|=|a_mz^m|\cdot\left|1+\frac{a_{m-1}}{a_mz}+\ldots+\frac{a_0}{a_mz^m}\right|\geqslant$$

$$\geqslant|z|^m|a_m|\left(1-\frac{|a_{m-1}|}{|z|\cdot|a_m|}-\ldots-\frac{|a_0|}{|z|^m|a_m|}\right)\geqslant\frac{|z|^m|a_m|}2$$

и, следовательно, $|P(z)|$ неограниченно возрастает с ростом $|z|$.
Поэтому из ограниченности последовательности $|P(z_n)|$ следует ограниченность $|z_n|$,
а вместе с ней и ограниченность последовательностей $x_n$ и $y_n$.
Выберем из последовательности $z_n$ подпоследовательность, по которой
$x_n$ сходится к некоторому $x_0$, а из неё, в свою очередь, подпоследовательность $z_{n_k}$,
по которой $y_n$ сходится к некоторому $y_0$; пусть ${z_0=x_0+i\,y_0}$.
Тогда ${|z_{n_k}-z_0|=\sqrt{(x_{n_k}-x_0)^2+(y_{n_k}-y_0)^2}\to0}$ при ${k\to\infty}$.

Многочлен ${P(z)-P(z_0)}$ обращается в ноль в точке ${z=z_0}$,
поэтому ${P(z)-P(z_0)=(z-z_0)Q(z)}$, причём многочлен $Q(z)$ ограничен в окрестности точки $z_0$.
Следовательно,

$$\big||P(z_{n_k})|-|P(z_0)|\big|\leqslant|P(z_{n_k})-P(z_0)|=|z_{n_k}-z_0|\cdot|Q(z_{n_k})|\to0 \quad\text{при}\quad k\to\infty.$$

Это означает, что
${|P(z_0)|=\lim\limits_{k\to\infty}|P(z_{n_k})|=\inf\limits_{z\in\mathbb C}|P(z)|}$,
т.е. что $z_0$ -- точка глобального минимума $P(z)|$.

2. Предположим, что ${P(z_0)\neq0}$, и сделаем замену ${z=z_0+w}$; тогда
${P(z)=b_0+b_kw^k+b_{k+1}w^{k+1}+\ldots+b_mw^m}$, где ${b_0=P(z_0)\neq0}$ и ${b_k\neq0}$
(т.е. $b_k$ -- младший из ненулевых коэффициентов при положительных степенях $w$).
Зафиксируем аргумент переменной $w$ так, чтобы независимо от её модуля выполнялось
${|b_0+b_kw^k|=|b_0|-|b_kw^k|}$ (так будет, если взять
${\arg(b_kw^k)=\arg(-b_0)}$, т.е. ${\arg w=\frac1k\arg\frac{-b_0}{b_k}}$). Далее,

$$|b_{k+1}w^{k+1}+\ldots+b_mw^m|= |b_kw^k|\cdot\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}w+\ldots+\frac{b_m}{b_k}w^{m-k}\right|<\frac{|b_kw^k|}2$$

при всех достаточно малых $|w|$
(достаточно взять ${|w|<\max\limits_{n>1}\left|\frac{b_k}{2(m-k)b_{k+n}}\right|^{\frac1n}}$).
Таким образом, при выбранном $\arg w$ и достаточно малых $|w|\neq0$

$$|P(z)|\leqslant|b_0+b_kw^k|+|b_{k+1}w^{k+1}+\ldots+b_mw^m|< |b_0|-|b_kw^k|+\frac{|b_kw^k|}2<|b_0|.$$

Это противоречит тому, что значение ${|P(z_0)|=|b_0|}$ является минимальным.
Следовательно, ${P(z_0)=0}$.

В принципе, всё и достаточно коротко, и достаточно подробно, и без никаких внешних ссылок (не считая ссылки на одномерный принцип компактности, но это уж святое и вовсе на этот момент не криминально). Однако читать это всё-таки невозможно.