Эквивалентность определений меры Лебега

[kp9r4d]

Показать, что множество $E \subset \mathbb{R}^d$ является измеримым по Каратеодори, относительно внешней меры Лебега тогда и только тогда, когда $E$ - измеримо по Лебегу.
Если $E$ измеримо по лебегу, то свойство Каратеодори очевидно выполняется, а как наоборот?

[EgZvor]

Известно, что для любого $A \in \mathbb{R}^d$ выполнено $|A|_e = |A\cap E|_e + |A\textbackslash E|_e$
Сначала предположим, что $E$ ограничено и пусть $H\supseteq E$ является $G_\delta$ множеством, таким что $|H| = |E|_e$. Подставим в уравнение
$|E|_e = |H| = |H \cap E|_e + |H \textbackslash E|_e = |E|_e + |H \textbackslash E|_e$
Так как $E$ ограничено ($|E|_e < \infty$), то $Z = H \textbackslash E$ имеет меру нуль, следовательно измеримо. Но $E = H \textbackslash Z$, значит и оно измеримо.
Пусть теперь $E$ произвольное. И для любого $k$
$E_k = \left\lbrace x \in E: |x| \leq k \right\rbrace$
Для каждого $k$ существует $G_\delta$ множество $H_k \supseteq E_k$ такое, что $|H_k| = |E_k|_e$. Применяя снова данное уравнение, получим
$|E_k|_e = |H_k| = |H_k \cap E|_e + |H_k \textbackslash E|_e \geq |E_k|_e + |H_k \textbackslash E|_e$
Так как $|E_k|_e < \infty$, то $Z_k = H_k \textbackslash E$ имеет внешнюю меру нуль и, следовательно, измеримо.
Пусть $H = \bigcup\limits_k H_k$, тогда $H$ измеримо и
$Z = H \textbackslash E = \big\left( \bigcup\limits_k H_k \big \right) \textbackslash E \subseteq \bigcup\limits_k (H_k \textbackslash E) = \bigcup\limits_k Z_k$
Следовательно, $|Z|_e \leq \sum |Z_k| = 0$, значит, $Z$ измеримо. Но тогда и $E = H \textbackslash Z$ также измеримо.
Взято отсюда http://people.math.gatech.edu/~heil/6337/fall07/section1.4.pdf страница 16 (немного другие обозначения)