Продолжение полукольца множеств на кольцо

[EgZvor]

Читаю учебник "Элементы теории функций и функционального анализа" (А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин). Там рассматривается вопрос о минимальном продолжении полукольца $\mathcal{S}$ на кольцо $\mathcal{R}$($\mathcal{S}$). Утверждается, что таким продолжением будет система множеств, представимых в виде $A = \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$, где $A_k \in \mathcal{S}$.
"его минимальность среди всех колец, содержащих $\mathcal{S}$, очевидна". Подскажите, пожалуйста, очевидное.
upd: В учебнике страница 45

[grizzly]

А то, что объединение двух элементов из кольца должно принадлежать кольцу Вам уже известно?

[EgZvor]

grizzly
Вроде понял. Пусть $\tilde{\mathcal{R}}$ некоторое кольцо содержащее $\mathcal{S}$. Значит, взяв конечное объединение множеств из $\mathcal{S}$ можем получить любой элемент $\mathcal{R}$ и он будет оставаться в $\tilde{\mathcal{R}}$, а значит $\tilde{\mathcal{R}} \supseteq \mathcal{R}$

[grizzly]

EgZvor
Я скажу словами. Поскольку $S$ принадлежит кольцу и конечные объединения должны принадлежать кольцу, значит все указанные множества должны принадлежать этому кольцу -- искомому продолжению -- меньше никак быть не может (в этом смысл минимальности).

Я надеюсь, что Вы именно это и хотели сказать.

[EgZvor]

grizzly
Да, всё так, спасибо