2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Продолжение полукольца множеств на кольцо
Сообщение07.08.2015, 19:40 


18/05/14
32
Читаю учебник "Элементы теории функций и функционального анализа" (А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин). Там рассматривается вопрос о минимальном продолжении полукольца $\mathcal{S}$ на кольцо $\mathcal{R}$($\mathcal{S}$). Утверждается, что таким продолжением будет система множеств, представимых в виде $A = \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_k$, где $A_k \in \mathcal{S}$.
"его минимальность среди всех колец, содержащих $\mathcal{S}$, очевидна". Подскажите, пожалуйста, очевидное.
upd: В учебнике страница 45

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение полукольца множеств на кольцо
Сообщение07.08.2015, 20:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
А то, что объединение двух элементов из кольца должно принадлежать кольцу Вам уже известно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение полукольца множеств на кольцо
Сообщение07.08.2015, 21:07 


18/05/14
32
grizzly
Вроде понял. Пусть $\tilde{\mathcal{R}}$ некоторое кольцо содержащее $\mathcal{S}$. Значит, взяв конечное объединение множеств из $\mathcal{S}$ можем получить любой элемент $\mathcal{R}$ и он будет оставаться в $\tilde{\mathcal{R}}$, а значит $\tilde{\mathcal{R}} \supseteq \mathcal{R}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение полукольца множеств на кольцо
Сообщение07.08.2015, 21:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
EgZvor
Я скажу словами. Поскольку $S$ принадлежит кольцу и конечные объединения должны принадлежать кольцу, значит все указанные множества должны принадлежать этому кольцу -- искомому продолжению -- меньше никак быть не может (в этом смысл минимальности).

Я надеюсь, что Вы именно это и хотели сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Продолжение полукольца множеств на кольцо
Сообщение07.08.2015, 21:31 


18/05/14
32
grizzly
Да, всё так, спасибо

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group