2-компонентный вектор состояния для макроскопической системы

[Muha_]

Прочитал восьмой том лекций Фейнмана и "Теоретический минимум по КМ" Сасскинда.
Не могу вникнуть в некоторые базовые принципы, согласно которым КМ применяется к реальности.
Допустим у нас есть макроскопическая система, собранная и пружинок и подобная молекуле аммиака.
Система может находиться в двух состояниях: "атом" азота может находиться по одну и по другую сторону "молекулы".
На первый взгляд, ничто не мешает нам рассматривать эти состояния как базисные состояния системы $|1\rangle$ и $|2\rangle$.
В настоящей молекуле аммиака эти состояния не являются стационарными. Вероятности будут меняться во времени, если начать эволюцию с одного из этих состояний. Как я понял, в макроскопической "молекуле" состояния $|1\rangle$ и $|2\rangle$ будут стационарными. Верно ли это?
Дальше, согласно КМ, если имеются состояния $|1\rangle$ и $|2\rangle$, то система может находится и в промежуточных состояниях. Например, $|1\rangle + |2\rangle$. Это означает, что существует некий способ приготовить пружинную "молекулу" в нестационарном состоянии $|1\rangle + |2\rangle$ в котором вероятности обнаружения в каждом из двух состояний равны и остаются равны со временем. Кроме того существует возможность поставить эксперимент в базисе, отличном от базиса стационарных состояний и обнаружить колебания вероятностей во времени.
Как теоретически можно приготовить состояние $|1\rangle + |2\rangle$? Нужно нечто вроде ящика с котом Шредингера?
Как можно поставить эксперимент в базисе, отличном от $|1\rangle$ и $|2\rangle$? Нужно как-то получить информацию о векторе состояния пружинной молекулы, переведя его в новое состояние отличное от $|1\rangle$ или $|2\rangle$?

Подозреваю, что на эти вопросы не существует четкого ответа. Тогда мне интересно, верен ли по крайней мере ход моих рассуждений.

[Munin]

Muha_ в сообщении #1043253 писал(а):

В настоящей молекуле аммиака эти состояния не являются стационарными. Вероятности будут меняться во времени, если начать эволюцию с одного из этих состояний. Как я понял, в макроскопической "молекуле" состояния $|1\rangle$ и $|2\rangle$ будут стационарными. Верно ли это?

Да, будут. Но кроме того, это будут элементы целого непрерывного множества состояний. А в квантовом случае - состояния будут дискретны.

Muha_ в сообщении #1043253 писал(а):

Дальше, согласно КМ, если имеются состояния $|1\rangle$ и $|2\rangle$, то система может находится и в промежуточных состояниях. Например, $|1\rangle + |2\rangle$.

Точнее, $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle+|2\rangle).$ Состояния принято нормировать на единицу.

Muha_ в сообщении #1043253 писал(а):

Это означает, что существует некий способ приготовить пружинную "молекулу" в нестационарном состоянии $|1\rangle + |2\rangle$ в котором вероятности обнаружения в каждом из двух состояний равны и остаются равны со временем.

Нет, пружинную - нельзя. Это можно делать только с квантовыми объектами - очень маленькими, и во время эксперимента не взаимодействующими с окружающим миром.

А для настоящей квантовой молекулы - это состояние как раз окажется стационарным.

В итоге, ваша ошибка в том, что вы думаете, что по сравнению с настоящей молекулой, у пружинной "молекулы" стационарные и нестационарные состояния меняются местами. Нет. Происходит другой переход:
- степень нестационарности состояний $|1\rangle$ и $|2\rangle$ становится исчезающе мала, так что базис этих состояний можно считать стационарным настолько же, как и базис состояний $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$;
- базисные квантовые состояния сближаются друг с другом так плотно, что в конце концов образуют неразличимое множество непрерывно переходящих одно в другое состояний - пространство классических состояний;
- состояния, отличающиеся от базисных, исчезают.

Muha_ в сообщении #1043253 писал(а):

Кроме того существует возможность поставить эксперимент в базисе, отличном от базиса стационарных состояний и обнаружить колебания вероятностей во времени.

Это теоретически так. А на практике - надо ещё изобрести, как поставить такой эксперимент. Это может быть отдельной сложной задачей. Так что, это пока речь только о теоретической возможности, о том, что в природе самой по себе это происходит именно так. И это ещё что касается настоящих квантовых систем, а с пружинными "молекулами" пока ещё никто не смог поставить такого эксперимента - может быть, это и невозможно вообще.

[Muha_]

Muha_ в сообщении #1043253 писал(а):

В итоге, ваша ошибка в том, что вы думаете, что по сравнению с настоящей молекулой, у пружинной "молекулы" стационарные и нестационарные состояния меняются местами. Нет. Происходит другой переход:
- степень нестационарности состояний $|1\rangle$ и $|2\rangle$ становится исчезающе мала, так что базис этих состояний можно считать стационарным настолько же, как и базис состояний $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$;
- базисные квантовые состояния сближаются друг с другом так плотно, что в конце концов образуют неразличимое множество непрерывно переходящих одно в другое состояний - пространство классических состояний;
- состояния, отличающиеся от базисных, исчезают.

Попытался это записать формально, обнаружил у себя некое фатальное непонимание.
Пусть $H=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$. Тогда, решение уравнения Шредингера говорит о том, что система, приготовленная в любом состоянии в этом состоянии и остается.
Дальше, добавляем очень малые недиагональные элементы $A$: $H=\begin{pmatrix}1&A\\A&1\end{pmatrix}$.
Решение уравнения (подсмотрел у Фейнмана) говорит о том, что неизменными во времени останутся векторы $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$. Другие векторы будут медленно менять модули амплитуд (при очень малом $A$ очень медленно).
Теперь рассмотрим все это в базисе собственных векторов $H$. Эти векторы - это не векторы $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$, как я почему-то надеялся. И в этом базисе $H$ снова станет диагональной матрицей. Решение ур. Шр. снова покажет что любой вектор не меняется. Но изменения вероятностей не могут зависеть от базиса.
Понятно, что вместо форума я мог начинать учиться решать задачи. Но может кто-то сразу угадает что я усвоил не так.

-- 07.08.2015, 20:50 --

Предположение: дело в том, что при смене базиса диагональные элементы $H$ уже не будут равны. В результате эволюция модулей амплитуд для возможных начальных состояний не изменится.
Но тогда непонятно почему стационарными остаются именно $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$ ? Ведь они никак не связаны с $H$...

[Sicker]

Muha_ в сообщении #1043325 писал(а):

Эти векторы - это не векторы $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$, как я почему-то надеялся.

А что тогда?

[Muha_]

Попробую более четко сформулировать суть своих затруднений.
Для двух состояний молекулы аммиака в лекциях Фейнмана решается уравнение Шредингера (стр. $148$ том $8$ http://www.all-fizika.com/article/index.php?id_article=1946, формулы $(7.2)$ и $(7.3)$). Дальше, делается вывод, что стационарными для этой молекулы могут быть только два состояния: $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$. Причем, независимо от величины недиагональных элементов гамильтониана.
Математические выкладки понятны, непонятно как так может быть. Ведь базис $|1\rangle$ и $|2\rangle$ выбран произвольно. Почему именно жестко привязанные к этому базису (и больше ни к чему) состояния $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$ оказываются стационарными? На что тогда влияет гамильтониан?
Можно ли аналогичную ситуацию продемонстрировать на примере спина $1/2$?
Выбираем произвольный базис, например из состояний по оси $z$. Добавляем произвольное магнитное поле. Разве состояния $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|+\rangle\pm |-\rangle)$ будут стационарны? Насколько я понимаю, они будут поворачиваться вокруг вектора поля и в базисе состояний по $z$ будут меняться.
Что-то важное я упускаю.

[Muha_]

Все, уже разобрался. Допустил простую ошибку в расчетах. После исправления все сошлось - собственные векторы $H$ направлены по оси $x$ если считать, что базисные направлены по $z$. Значит, все состояния поворачиваются вокруг $x$ кроме состояний энергетического базиса.

[Muha_]

Munin в сообщении #1043281 писал(а):

Да, будут. Но кроме того, это будут элементы целого непрерывного множества состояний. А в квантовом случае - состояния будут дискретны.

Если речь идет об измерении спина, тогда это понятно: как эксперименты не ставим, все равно получим только два возможных исхода.
Но в случае с молекулой аммиака это непонятно. Можно поставить множество различных экспериментов по определению пространственного положения атома азота в молекуле.
Вероятно, существует и эксперимент, который определяет только с какой стороны молекула и больше ничего, позволяющий построить базис из двух состояний. Но тогда ничто не мешает существовать такому эксперименту для молекул большего размера и для пружинной молекулы.
Или физики просто наблюдают расщепление энергии атома аммиака и на этом основании делают вывод, что двух-компонентное описание молекулы полезно? А строгих принципов, позволяющих предсказать это расщепление не существует?

Munin в сообщении #1043281 писал(а):

Нет, пружинную - нельзя. Это можно делать только с квантовыми объектами - очень маленькими, и во время эксперимента не взаимодействующими с окружающим миром.

Т.е. все-таки можно, если удалось бы изолировать от мира и если бы не помешали некие особые принципы декогеренции, которые мне еще не осилить.

Munin в сообщении #1043281 писал(а):

степень нестационарности состояний $|1\rangle$ и $|2\rangle$ становится исчезающе мала, так что базис этих состояний можно считать стационарным настолько же, как и базис состояний $\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)$;

У меня получается, что при снижении вероятности перехода между состояниями $|1\rangl$ и $|2\rangl$ недиагональные элементы гамильтониана стремятся к нулю и в результате стационарным становится любое состояние. Это если диагональные равны. Но если они не равны (энергия в $|1\rangl$ и $|2\rangl$ различна) тогда как раз стационарными становятся только состояния $|1\rangl$ и $|2\rangl$ и никакие другие. Я не ошибаюсь?

Munin в сообщении #1043281 писал(а):

Это теоретически так. А на практике - надо ещё изобрести, как поставить такой эксперимент. Это может быть отдельной сложной задачей.

В случае молекулы аммиака, можно облучить молекулу очень короткими волнами и точно узнать координаты атома азота. Это состояние не энергетическое, а значит осцилляции будут влиять на результат.
В случае с пружинной молекулой состояние осцилляций не будет есть любое состояние стационарно. Но если энергии двух состояний чуть чуть различны, то я так понимаю, осцилляции будут происходить с частотой тем меньшей, чем меньше разность энергий. Значит нужно идеально изолировать пружинную молекулу от мира, привести ее в состояние суперпозиции, поместить в слабейшее поле, а затем осветить определив состояние. Серия таких опытов должна обнаружить осцилляции вероятности. Если остальные возмущения внутри пружинной молекулы будут достаточно слабы, чтобы все не испортить по какой-то сложной причине.

[Muha_]

В последнем абзаце ошибся. Для пружинной молекулы состояния, которые можно обнаружить осветив ее как раз будут стационарными. Значит, осцилляции можно определить каким-то другим опытом, вроде разделения по энергии, что может быть невозможно из за слабой разницы энергии.

[Munin]

Muha_ в сообщении #1043391 писал(а):

Если речь идет об измерении спина, тогда это понятно: как эксперименты не ставим, все равно получим только два возможных исхода.
Но в случае с молекулой аммиака это непонятно. Можно поставить множество различных экспериментов по определению пространственного положения атома азота в молекуле.
Вероятно, существует и эксперимент, который определяет только с какой стороны молекула и больше ничего, позволяющий построить базис из двух состояний. Но тогда ничто не мешает существовать такому эксперименту для молекул большего размера и для пружинной молекулы.

Это верно. И такой эксперимент измеряет проекцию квантового состояния молекулы на базис $\{|1\rangle,|2\rangle\}.$

Но трудность в другом. Теоретически, точно так же можно поставить эксперимент, который измеряет проекцию квантового состояния молекулы на базис $\{\,\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)\}.$ Но практически - это надо ещё изощриться и придумать его.

Но допустим. Мы такой эксперимент всё-таки придумали. И вот тут наступает вот что: этот эксперимент уже не удаётся масштабировать на "молекулы" типа конструкций из макроскопических пружинок.

Как такое может быть? Ну например, вспомним пример из Фейнмана с приборами Штерна-Герлаха. Там пучок частиц со спином разделялся на два пучка, и тем самым измерялась проекция спина. Но что нужно, чтобы измерить другую проекцию спина? Нужно сначала свести эти два пучка вместе, и заставить их проинтерферировать между собой. И потом, по результатам интерференци, мы обнаружим, что другая проекция равна тому-то. Так же можно обойтись и с другими квантовыми частицами, которые мы так или иначе измеряем (хотя тут могут возникнуть технические сложности, но я сказал, пусть мы их обошли). Но что насчёт классических систем? Мы масштабируем эксперимент, и интерференция "портится", нам её всё труднее и труднее наблюдать, и в какой-то момент это просто невозможно. И получается, что мы не можем измерить проекцию пружинной "молекулы" на базис $\{\,\tfrac{1}{\!\!\sqrt{2\,}\,}(|1\rangle\pm |2\rangle)\}.$

Muha_ в сообщении #1043391 писал(а):

Или физики просто наблюдают расщепление энергии атома аммиака и на этом основании делают вывод, что двух-компонентное описание молекулы полезно? А строгих принципов, позволяющих предсказать это расщепление не существует?

Если бы мы с вами жили в 1925 году, когда Гейзенберг только-только придумал свою "матричную механику" (которая оказалась одним из вариантов изложения квантовой механики), то я бы сказал "да". Но оказалось, что это можно вывести и из более глубоких принципов. По крайней мере, глядя на устройство молекулы, на её взаимодействия между атомами, между атомными ядрами и электронами, и на механические движения и пространственные конфигурации. То есть, расщепление реально соответствует формам молекулы "вниз" и "вверх", и их полусумме и полуразности.

Насчёт "строго" - математически всё равно приходится что-то брать за аксиомы, не выводимые ни из чего. Сегодня принято за них брать некоторые постулаты квантования. Из них - да, можно вывести это строго.

Muha_ в сообщении #1043391 писал(а):

Т.е. все-таки можно, если удалось бы изолировать от мира и если бы не помешали некие особые принципы декогеренции, которые мне еще не осилить.

Ну, мы сейчас думаем, что "всё-таки можно". Те из нас, которые верят в то, что дело в декогеренции. Но это ещё ни разу не было проверено экспериментально.

Точнее, удаётся проверить это экспериментально для всё больших и больших систем. Из сотен атомов, из тысяч. Это всё сложнее и сложнее. Но тысячи атомов - это можно считать, что "недостаточно и неубедительно". А в нас с вами по $\sim 10^{23}$ атомов. Так что, разница всё ещё очень велика.

Muha_ в сообщении #1043391 писал(а):

У меня получается, что при снижении вероятности перехода между состояниями $|1\rangle$ и $|2\rangle$ недиагональные элементы гамильтониана стремятся к нулю и в результате стационарным становится любое состояние. Это если диагональные равны. Но если они не равны (энергия в $|1\rangle$ и $|2\rangle$ различна) тогда как раз стационарными становятся только состояния $|1\rangle$ и $|2\rangle$ и никакие другие. Я не ошибаюсь?

Да, вы правы и в первом, и во втором случае. Первый случай называется "вырожденные состояния" (ЛЛ-3 § 10).

Muha_ в сообщении #1043391 писал(а):

Если остальные возмущения внутри пружинной молекулы будут достаточно слабы, чтобы все не испортить по какой-то сложной причине.

Вот это условие как раз труднее всего выполнить - на практике невозможно. Дело в том, что возмущения, от которых надо защищать систему, становятся экспоненциально малы, по мере увеличения размеров системы.

Muha_ в сообщении #1043396 писал(а):

Значит, осцилляции можно определить каким-то другим опытом, вроде разделения по энергии, что может быть невозможно из за слабой разницы энергии.

Угу, и это верно.