Глупые вопросы по континуум-гипотезе

[green_orange]

Глупые математически-философские (надеюсь, в хорошем смысле последнего слова) вопросы:
1. Почему вообще часть математиков принимает континуум-"гипотезу"? Может, я чего-то не понимаю, но мне она не кажется "естественной" (в отличие от всех аксиом ZFC, кроме, быть может, фундированности, на которую есть свои причины), и я не видел значимых приемуществ от её принятия (в отличие от той же аксиомы выбора).
2. Существуют ли серьёзные математические статьи, использующие континнум-"гипотезу"? Желательно с примерами каких-нибудь наиболее известных. (Кажется, где-то слышал, что такие есть, но примеров сам не знаю.) Есть ли такие результаты, применяющиеся где-то вне математики? Существуют ли крупные области математики, "держащиеся" на ней?
3. А есть ли результаты, использующие отрицание континуум-"гипотезы"?
4. Есть ли известные математики (серьёзные, не альты местного разлива), принципиально не использующие континуум-"гипотезу"?
P.S. Пишу слово "гипотеза" в кавычках, так как это нельзя считать гипотезой в обычном понимании этого слова.

[Someone]

green_orange в сообщении #1043234 писал(а):

Почему вообще часть математиков принимает континуум-"гипотезу"?

Кто именно?

Вообще, известно множество теорем типа "если континуум-гипотеза верна, то…" и "если континуум-гипотеза ложна, то…". Это абсолютно не означает, что автор теоремы данную гипотезу "принимает" или "не принимает".

green_orange в сообщении #1043234 писал(а):

Существуют ли серьёзные математические статьи, использующие континнум-"гипотезу"?

Я уже сказал: полно.

green_orange в сообщении #1043234 писал(а):

А есть ли результаты, использующие отрицание континуум-"гипотезы"?

Полно.

green_orange в сообщении #1043234 писал(а):

Есть ли известные математики (серьёзные, не альты местного разлива), принципиально не использующие континуум-"гипотезу"?

Серьёзные математики такой блажью, как правило, не страдают. Они знают, что континуум-гипотеза не зависит от стандартных аксиом ZFC, и что они вправе использовать эту гипотезу или её отрицание в качестве дополнительного предположения при доказательстве теорем.

А почему, собственно, Вас интересует именно континуум-гипотеза? Почему, скажем, не аксиома Мартина или какая-нибудь из многочисленных аксиом больших кардиналов? Или ещё что-нибудь? В теории множеств известно много утверждений, не зависящих от аксиом ZFC. И любое из них (или его отрицание) можно использовать в доказательствах, естественно, явно сказав об этом. Можно также отбросить какие-нибудь аксиомы ZFC, введя вместо них какие-нибудь другие.

В общем, ваша озабоченность континуум-гипотезой мне непонятна.

[green_orange]

Someone в сообщении #1043248 писал(а):

Я уже сказал: полно.

Про то, что их полно, часто слышу, но хотелось бы конкретных ссылок в обоих случаях.

Someone в сообщении #1043248 писал(а):

А почему, собственно, Вас интересует именно континуум-гипотеза? Почему, скажем, не аксиома Мартина или какая-нибудь из многочисленных аксиом больших кардиналов? Или ещё что-нибудь? В теории множеств известно много утверждений, не зависящих от аксиом ZFC. И любое из них (или его отрицание) можно использовать в доказательствах, естественно, явно сказав об этом. Можно также отбросить какие-нибудь аксиомы ZFC, введя вместо них какие-нибудь другие.

Не интересовали до сего момента потому, что ранее я о них не слышал. Спасибо за интересную информацию, почитаю.

Someone в сообщении #1043248 писал(а):

Серьёзные математики такой блажью, как правило, не страдают. Они знают, что континуум-гипотеза не зависит от стандартных аксиом ZFC, и что они вправе использовать эту гипотезу или её отрицание в качестве дополнительного предположения при доказательстве теорем.

Под словом "принимают" я подразумевал что-то вроде следующего: математик, используя како-либо подобное утверждение, независимое от ZFC, предполагает, что оно ей не противоречит. Если я приму в качестве предположения какое-то случайное утверждение и что-то из него выведу, это вряд ли будет хоть кому-то нужно.

Someone в сообщении #1043248 писал(а):

В общем, ваша озабоченность континуум-гипотезой мне непонятна.

Как было написано выше, выбор континуум-гипотезы вызван лишь моей необразованностью.

[Someone]

green_orange в сообщении #1043250 писал(а):

Под словом "принимают" я подразумевал что-то вроде следующего: математик, используя како-либо подобное утверждение, независимое от ZFC, предполагает, что оно ей не противоречит. Если я приму в качестве предположения какое-то случайное утверждение и что-то из него выведу, это вряд ли будет хоть кому-то нужно.

Видите ли, если про какое-то утверждение говорят, что оно не зависит от принятой аксиоматики, то это означает, что эта независимость доказана, то есть, показано, что ни само утверждение, ни его отрицание невозможно доказать, используя принятый набор аксиом (часто это делается путём демонстрации моделей, в которых данное утверждение верно, и моделей, в которых оно ложно). Если математик использует такое независимое утверждение или его отрицание, он не "предполагает", что оно не противоречит аксиомам, а знает об этом.

Естественно, встречаются утверждения, которые не доказаны и не опровергнуты. Это не то же самое, что независимые утверждения, поскольку остаётся возможность, что утверждение будет доказано или опровергнуто позже. Использование такого утверждения или его отрицания в доказательствах теорем может быть мотивировано следующим рассуждением.
"В данный момент мы не можем это утверждение ни доказать, ни опровергнуть. Давайте попробуем вывести побольше интересных следствий из этого утверждения и из его отрицания. Вдруг нам повезёт, и мы наткнёмся на какое-нибудь противоречие. Тогда проблема решится."

По поводу ссылок. Мне лень заниматься археологическими раскопками. Впрочем, вот посмотрите статью В.И.Малыхина.

Академик П.С.Александров называл использование континуум-гипотезы в доказательствах "паразитом счётности". Дело в том, что индуктивные построения, связанные с действительными числами, порой не проходят без континуум-гипотезы, так как требуют использования несчётных ординалов, а континуум-гипотеза позволяет обойтись счётными ординалами, что может сделать построение возможным.

-- Пт авг 07, 2015 13:01:45 --

green_orange в сообщении #1043250 писал(а):

Как было написано выше, выбор континуум-гипотезы вызван лишь моей необразованностью.

Если Вас интересует математика, то советую заниматься математикой, а не околоматематическим философствованием.

[grizzly]

green_orange в сообщении #1043250 писал(а):

Про то, что их полно, часто слышу, но хотелось бы конкретных ссылок в обоих случаях.

Если это почему-то вдруг так важно / интересно для Вас, зайдите на страничку англовики, посвящённую континуум-гипотезе. Там, в частности, есть отдельный раздел типа "за и против" (и действительно специалистам по основаниям математике, теории множеств и т.п. может быть интересно обсуждать это). Хорошо бы Вам ещё понять ответ Someone и не воспринимать эти "за" и "против" как-то вульгарно.
Даже не зная английского, Вы, скорее всего, поймёте по построению предложений кто из них "за", а кто "против".

В списке литературы указано достаточно много авторов, со статьями на эту тему. Примерно половина из них "за", другая "против". Ещё около 100K дипломированных математиков занимаются своими вопросами, не заботясь об этой гипотезе (взаимоотношения теорий, в развитие которых они вовлечены, с CH были выстроены ранее и, скажем так, сохраняются и развиваются в традиции, не требуя постоянного пересмотра).

(А в кавычки одно из слов единого термина заключать не следует всё же.)

[green_orange]

Someone, большое спасибо за подробный ответ и особенно за статью. Из списка литературы все интересные мне ссылки добываются.