Значение бесконечного радикала

[Ilya G]

Может ли кто-нибудь привести вариант доказательства или опровержения для следующего:
$\sqrt{1+2\sqrt{3+4\sqrt{5+6\sqrt{7+8\sqrt{9+...}}}}}\approx \sqrt{2e+\pi }\approx2.92884$

Как я понимаю, если исходить из того, что $\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+...}}}}}=3$, то здесь скорее уместнее опровержение.

Deggial: выделено отсюда.
Ilya G, новые вопросы оформляйте в виде новых тем.

[Ilya G]

Да, действительно, утверждение в корне не верно.

Предлагаю для рассмотрения второй, возможно более реальный вариант:
$\sqrt{1+2\sqrt{3+4\sqrt{5+6\sqrt{7+...}}}}\approx \varphi^{2}+1\approx 3.61803...$

[Ilya G]

Если б второй вариант соответствовал действительности, получилось бы довольно красивое выражение для золотого сечения
$\varphi \approx \sqrt{i^{2}+\sqrt{1+2\sqrt{3+4\sqrt{5+6\sqrt{7+8\sqrt{9+...}}}}}}$

[Mikhail_K]

Ilya G, пожалуйста, укажите, на чём основаны эти Ваши "варианты"?
Какие основания есть у Вас полагать, что это $\varphi^2+1$ или ещё какое-нибудь число?
Только то, что после 16 итераций получается близкое число? Ну если бы было совпадение в нескольких знаках, то можно было бы такое предположить. Но у Вас и совпадения нет, зазор большой.
Это у Вас гадание на кофейной гуще получается.

Другое дело, если бы Вы не стали гадать, а задались вопросом: чему точно равен этот бесконечный радикал? Какие существуют приёмы вычисления таких радикалов? На такой вопрос участникам форума было бы интересно отвечать. Гадание по кофейной гуще здесь никому не интересно.

То есть, Вам надо отложить в сторону системы компьютерных вычислений и начать изучать теорию, как считаются такие вещи. Наверняка, участники форума Вам подскажут, что именно можно почитать на эту тему. Не знаю, как конкретно этот радикал, но многие радикалы сосчитать удаётся. Без теории всё равно всякое гадание бессмысленно. А если будете знать теорию, то найдёте для себя много красивых соотношений, и безо всякого гадания.

[grizzly]

Ilya G
Я присоединяюсь к словам Mikhail_K, но хочу добавить к ним от себя ещё немного. Насколько я понимаю, все вычисления, на которых строятся Ваши гипотезы, Вам даются довольно сложно -- скорее всего, приходится выполнять довольно трудоёмкую работу на калькуляторе (или вручную на каком-то сетевом вычислителе). Но если Вам это действительно интересно, а теория для Вас слишком сложна, то Вы могли бы попытаться освоить написание самых простых скриптов (я даже не заикаюсь о программировании) или -- что хуже, но возможно, проще для начала -- делать элементарные расчёты в каком-нибудь экселе. Тогда Вы могли бы самостоятельно и быстро определять, насколько хороши Ваши гипотезы. В общем, желаю Вам найти выход из этого творческого тупика в каком-нибудь развитии (не обязательно даже математическом).

Относительно Вашей гипотезы, то простенькая дробь $3\frac{3}5$ является для этого радикала намного лучшим приближением, чем предложенное Вами.

[Ilya G]

Спасибо.
Просто стараюсь ратовать за эстетику.
В духе
$\sqrt{\pi +e\sqrt{\pi+e\sqrt{\pi+...}}}<\sqrt{1+2\sqrt{3+4\sqrt{5+6\sqrt{7+...}}}}< \varphi^{2}+1$


$3.592...<\sqrt{1+2\sqrt{3+4\sqrt{5+6\sqrt{7+...}}}}< 3.618...$

-- 06.08.2015, 14:53 --

Mikhail_K в сообщении #1043050 писал(а):

То есть, Вам надо отложить в сторону системы компьютерных вычислений и начать изучать теорию, как считаются такие вещи. Наверняка, участники форума Вам подскажут, что именно можно почитать на эту тему.

Да, мне вчера Вавилова посоветовали, я прочитал. Но относительно данного радикала не разобрался. Поэтому избрал интуитивно-техническую линию.

[grizzly]

Ilya G в сообщении #1043073 писал(а):

Просто стараюсь ратовать за эстетику.

Э-х... Вот если бы я начал на форумах художников или поэтов выкладывать свои картины / стихи (я и то и другое очень быстро умею), а Вы не были бы равнодушны к той эстетике, тогда, быть может, Вы смогли бы меня понять.