Пределы вложенных радикалов по простым числам

[Ilya G]

Существует ли пределы следующих вложенных радикалов по всем последовательным простым числам $p$, и как можно найти их значение?

Первичное численное приближение:

$\sqrt{p_{1}+\sqrt{p_{2}-\sqrt{p_{3}+\sqrt{...}}}}\approx 1.62019...$

$\sqrt{p_{1}+\sqrt{p_{2}+\sqrt{p_{3}+\sqrt{...}}}}\approx 2.10359...$

[Deggial]

По правилам раздела Вы должны привести попытки решения , относительно сходимости, конечно.

[nnosipov]

Полезно прочитать брошюру:
Вавилов В.В. Итерации радикалов. М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, "Самообразование", 2000.

[Ilya G]

nnosipov в сообщении #1042817 писал(а):

Полезно прочитать брошюру:
Вавилов В.В. Итерации радикалов. М.: Школа им. А.Н. Колмогорова, "Самообразование", 2000.

Спасибо.

[Ilya G]

Любопытное равенство сумм бесконечных нейтральных радикалов, дающее на выходе 5-е простое число
${\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+...}}}}+{\sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+...}}}}={\sqrt{20+\sqrt{20+\sqrt{20+...}}}}++{\sqrt{30+\sqrt{30+\sqrt{30+...}}}}=11 $

[Sonic86]

Ilya G в сообщении #1042798 писал(а):

Существует ли пределы следующих вложенных радикалов по всем последовательным простым числам $p$

$\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+....}}}}$ мы знаем, что сходится и чему это равно. Дальше просто
$2\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+....}}}}=\sqrt{2^2+\sqrt{2^4+\sqrt{2^8+\sqrt{2^{16}+....}}}}$, т.е. если последовательность имеет асимптотику не более, чем экспоненциальную, то радикал сходится, а $p_n<2^{2^n}$ при $n>n_0$. Все.

[kp9r4d]

Sonic86 в сообщении #1042860 писал(а):

$p_n<2^n$

Можете пояснить почему? Я как-то не придумал.

[Sender]

kp9r4d в сообщении #1042864 писал(а):

Можете пояснить почему?

Да хотя бы потому, что $p_{n+1}<2p_n.$

[Sonic86]

kp9r4d в сообщении #1042864 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1042860 писал(а):

$p_n<2^n$

Можете пояснить почему? Я как-то не придумал.

Я не точно написал. Достаточно $p_n<2^n$ для $n>n_0$
И еще я ошибся: там не $2^n$, а $2^{2^n}$.
Пост поправил.

[Ilya G]

Sonic86

Спасибо.

[Deggial]

Новый вопрос отделён в новую тему

[Ilya G]

Рабочая гипотеза:

$\sqrt{p_{1}+\sqrt{p_{2}+\sqrt{p_{3}+\sqrt{...}}}}=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{100}{2^{n}(55n-25)}=2.10361294...$

[Sonic86]

Это неверно

[Ilya G]

У кого-нибудь есть мысли в каком направлении двигаться, от чего оттолкнуться.

[Mikhail_K]

Не факт, что аналитическое выражение вообще существует.
Быть может, единственный способ записи этого числа - это как раз через радикалы, а других формул для него нет.