Если равны Фурье образы функция, то равны и сами функции?

[Divergence]

Можно ли из равенства произведения Фурье образов сделать заключение о равенстве сверток функций ?

Есть три действительно-значные функции $f_n(x)$, $x \in \mathbb{R}$, $(n=1,2,3)$, для которых существуют Фурье образы

$$ g_n(y) =\int^{+\infty}_{-\infty} dx \, e^{-i \, x\, y} \, f_n(x) \quad (n=1,2,3) . $$

Не является ли ошибкой то, что я доказываю равенство сверток функций

$$ \int^{+\infty}_{-\infty} dx \, f_1 (x) \, f_2 (x-z) = f_3(z) \quad ? $$

тем, что выполняется равенство произведения образов

$$ g_1(y) \, g_2(y) = g_3 (y) \quad (y \in \mathbb{R})$$

Например, имеем

$$f(a,x)=\frac{2a}{ \pi\, (x^2+a^2)} , \quad g(a,y)= e^{-a \, y}$$

Доказывает ли равенство $g(a,y) \, g(b,y)=g(a+b,y)$ то, что $ f(a) * f(b)=f(a+b) $, где * - свертка.

Если не всегда, то какие ограничения на функции существуют ?

Может ли этим ограничениям удовлетворять обобщенная гипергеометрическая функция $\, _1F_2$:

$$ _1F_2 \Bigl(a; a+1, \frac{1}{2}; - \frac{x^2}{4} \Bigr) \quad a>0 ? $$