2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Если равны Фурье образы функция, то равны и сами функции?
Сообщение03.08.2015, 12:22 
Аватара пользователя
Можно ли из равенства произведения Фурье образов сделать заключение о равенстве сверток функций ?

Есть три действительно-значные функции $f_n(x)$, $x \in \mathbb{R}$, $(n=1,2,3)$, для которых существуют Фурье образы
$$
g_n(y) =\int^{+\infty}_{-\infty} dx \, e^{-i \, x\, y} \, f_n(x)  \quad (n=1,2,3) .
$$

Не является ли ошибкой то, что я доказываю равенство сверток функций
$$
\int^{+\infty}_{-\infty} dx \, f_1 (x) \, f_2 (x-z) = f_3(z)  \quad ? $$
тем, что выполняется равенство произведения образов
$$ g_1(y) \, g_2(y) = g_3 (y)  \quad (y \in \mathbb{R})$$

Например, имеем
$$f(a,x)=\frac{2a}{ \pi\, (x^2+a^2)}  , \quad g(a,y)= e^{-a \, y}$$
Доказывает ли равенство $g(a,y) \, g(b,y)=g(a+b,y)$ то, что $ f(a) *  f(b)=f(a+b) $, где * - свертка.

Если не всегда, то какие ограничения на функции существуют ?

Может ли этим ограничениям удовлетворять обобщенная гипергеометрическая функция $\, _1F_2$:
$$ _1F_2 \Bigl(a; a+1, \frac{1}{2}; - \frac{x^2}{4} \Bigr)  \quad a>0 ? $$

 
 
 [ 1 сообщение ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group