Управляемый метод наименьших квадратов

[Stanislav30]

Здравствуйте!

Недавно мне потребовалось решить следующую прикладную задачу.
Дано множество точек на плоскости; его можно для удобства вполне упорядочить. Требуется найти коэффициенты многочлена заданного порядка так, чтобы выполнить следующие условия:

1) минимизируется дисперсия точек относительно этого многочлена;
2) в дополнительно указанных точках (не обязательно, чтобы они совпадали между собой и с какими-либо из исходных) производные от этого многочлена, имеющие заданные порядки, должны иметь заданные значения.

Практический смысл этой задачи состоит в том, что зачастую аппроксимация данных должна не просто обеспечивать минимальную дисперсию их по отношению к себе самой, но и проходить через дополнительно заданные точки и, может быть, с заданными наклонами касательных в них. Вот у меня и возникла такая пратическая потребность.

Я по составленному алгоритму написал компьютерную программу, отладил ее и протестировал; оказалось очень удобно в работе. Кроме того, я расширил алгоритм таким образом, чтобы велась одновременная аппроксимация данных, лежащих в нескольких соседних диапазонах значений абсциссы. Это имеет смысл, если исходные данные точки заведомо не ложатся на один и тот же многочлен приемлемого порядка, и тогда нужно данные разбить на соседствующие друг с другом группы и каждую из них аппроксимировать по отдельности, но с условием сопряжения всех этих кусочных аппроксимаций в местах стыковки абсцисс.
Такая программа тоже вполне хорошо работает, хотя ее использование требует чуть больше внимания и личного вмешательства.

Мне хотелось бы как-то узнать, делалось ли это раньше? Ведь задача решается несложно, имеет практическую ценность и связана с методом, известным тоже давно; - значит, весьма вероятно, что нечто такое уже сделано. Но мне будет важно впоследствии привести ссылки на прежние публикации, если они есть.
Мне рекомендовали посмотреть в теории автоматического управления, но, может быть, здешние специалисты скажут скорее?

[worm2]

Сразу видно, что задача сводится к общей задаче минимизации квадратичной формы с линейными ограничениями, так что здесь новизны нет. Известна и более специальная постановка задачи Equality constrained linear least squares. Ваш случай ещё более специальный, но, на мой взгляд, шансов на то, что его ещё никто не рассматривал (либо рассматривал, но не нашёл такого же оптимального алгоритма, как у Вас), практически нет. С другой стороны, поиск конкретно Вашей формулировки в существующей научной литературе может быть гораздо сложнее, чем решение той же задачи заново. Что тут можно посоветовать?

Думаю, если Вы сошлётесь на какую-нибудь достаточно общую статью по Equality constrained linear least squares, упомянете, что у Вас более частный случай, который допускает использование более оптимального алгоритм, но возникли сложности с поиском в точности Вашего случая в литературе, то это будет безупречно.