2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 22:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Рассказываю ребятам теорию отношений, и возникает заминка различении "левого" и "правого" элементов. Как соотнести между собой различные способы записи отношений?

Основой является, конечно, представление в виде множества пар. Пусть, например, $(a,b)\in \rho$. Как записать это "в строчку"? В виде $a\,\rho \,b$ или $b\,\rho \,a$?

Если отношение симметрично, например $a\sim b$, можно этим не заморачиваться... Но для антисимметричных отношений может возникнуть путаница. Например, в записи $a\prec b$ можно назвать элемент $a$ -- предшествующим, а $b$ -- последующим. Соответственно, наибольший или максимальный элементы должны стоять "справа" от знака отношения!

Однако в записи $a\geqslant b$ естественно считать последующим (а также наибольшим) элемент, стоящий слева от знака неравенства! В этом случае общее определение (того же максимального элемента) не переносится автоматически на конкретные случаи!

И вообще, какие пары входят в отношение "больше"? Пары $(1;2), (1;3),...$ или, наоборот, $(2; 1), (3;1), ...$? Все время возникает какая-то неприятная путаница.

Кто что подскажет: как и точность соблюсти, и не запутать слушателей (тем более сейчас у меня восьмиклассники)?

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 22:13 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А в чём проблема-то?

Если речь, скажем, об отношении "меньше-больше", то просто вводим только один значок -- "меньше" и всё тут. А значок "больше" (формально избыточный) вводим просто для альтернативного описания ровно тех же яиц, но в профиль.

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
provincialka в сообщении #1032227 писал(а):
И вообще, какие пары входят в отношение "больше"?

какой-то писатель в ответ на вопрос, как нужно писать книги, писал(а):
слева направо!

В нашей культуре человек читает слева направо. Поэтому в отношение "больше" естественно включать $(3, 1)$, а в отношение "меньше" - $(1, 3)$.
В тех учебниках, по которым учился я, использовалось отношение "меньше" как пример строгого порядка и "меньше или равно" как пример нестрого. Оперировать отношением "больше" и понятием максимального элемента вообще нет нужды. Все, что нужно знать про порядок, прекрасно объясняется на "меньше" и минимальности.

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Anton_Peplov в сообщении #1032233 писал(а):
Оперировать отношением "больше" и понятием максимального элемента вообще нет нужды. Все, что нужно знать про порядок, прекрасно объясняется на "меньше" и минимальности.

Ну, не скажите! Например, часто приходится строить максимальные подмножества (в смысле отношения вложения). И, наоборот, минимальные элементы мне как-то не пригождались!

Anton_Peplov в сообщении #1032233 писал(а):
Человек читает слева направо.

Ага! Например, записи $y = f(x)$ соответствует пара $(y,x)$, как раз слева направо... Или все-таки $(x,y)$?

-- 29.06.2015, 22:32 --

ewert в сообщении #1032232 писал(а):
А в чём проблема-то?

Если речь, скажем, об отношении "меньше-больше", то просто вводим только один значок -- "меньше" и всё тут. А значок "больше" (формально избыточный) вводим просто для альтернативного описания ровно тех же яиц, но в профиль.

Ну, пожалуй... Тем более, что то же отношение вложения множеств $\subset $ больше похоже именно на "меньше". Ладно, будем изгонять "больше" из лексикона :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 22:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
provincialka в сообщении #1032235 писал(а):
Например, часто приходится строить максимальные подмножества (в смысле отношения вложения). И, наоборот, минимальные элементы мне как-то не пригождались!

Интересно. Ладно, минимальное кольцо и минимальная сигма-алгебра над системой множеств, топология наименьших окрестностей и т.д. могут и не пригодиться, это зависит от того, какой областью математики заниматься. А вот где нужно строить максимальные множества, я так сразу и не скажу. Где они Вам нужны, да еще и часто?

provincialka в сообщении #1032235 писал(а):
Например, записи $y = f(x)$ соответствует пара $(y,x)$, как раз слева направо... Или все-таки $(x,y)$?

В алфавите буква $x$ стоит перед буквой $y$, а читаем мы как?... :)
А вообще, давайте не будем растекаться по древу мыслию о записи всех возможных отношений. Ограничимся отношением "больше". Ну серьезно, три больше одного. Пара $(3, 1)$ здесь выглядит естественней ("больше" подставляется вместо запятой). Для Вас - нет? Ну, дело вкуса.

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 22:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Anton_Peplov в сообщении #1032240 писал(а):
Ладно, минимальное кольцо и минимальная сигма-алгебра над системой множеств, топология наименьших окрестностей и т.д. могут и не пригодиться, это зависит от того, какой областью математики заниматься.
Восьмиклассникам точно не пригодятся!
Anton_Peplov в сообщении #1032240 писал(а):
А вот где нужно строить максимальные множества, я так сразу и не скажу. Где они Вам нужны, да еще и часто?
В основном максимальные клики (в графах). И вообще максимальные подмножества ребер, удовлетворяющие определенным свойствам. Например, максимальные эквивалентности, вложенные в толерантность. Или максимальные порядки, вложенные в какое-нибудь не-антисимметричное отношение.

Я же им теорию отношений рассказываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 23:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
provincialka в сообщении #1032235 писал(а):
Ладно, будем изгонять "больше" из лексикона

Это только чтоб не путать восьмиклассников? Что-то здесь не так. Я голосую за вариант $(1;3)$ для меньше и $(3;1)$ для больше. Это просто выглядит естественным.

provincialka в сообщении #1032235 писал(а):
Например, записи $y = f(x)$ соответствует пара $(y,x)$, как раз слева направо... Или все-таки $(x,y)$?

Так нечестно. Здесь пример другого рода, типа $(x, f(x))$ (это не равноправное отношение, а зависимость -- пока нет $x$ нет и $y$).

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
grizzly в сообщении #1032259 писал(а):
Здесь пример другого рода,

Отчасти, да. Но отображение -- это ведь тоже частный случай отношений!
И вот еще пример. Соответствие "столица". Естественно считать, что в паре на первом месте стоит страна, а потом -- город: (Россия, Москва), (США, Вашингтон), (Канада, Оттава), (Австралия, Канберра) и т.д. Но по русски же мы скажем "Москва -- столица России".

Впрочем в данном случае "столица" -- тоже отображение.

Или вот если "Анна -- сестра Сережи", то как записывать пару? Я бы все-таки записала (Сережа, Анна). Но тут можно и поспорить...

-- 29.06.2015, 23:19 --

grizzly в сообщении #1032259 писал(а):
это не равноправное отношение, а зависимость -- пока нет $x$ нет и $y$

А вот это не поняла... Для всякого отображения можно построить "график", то есть множество пар $(x,f(x))$ Зачем им откуда-то "появляться"?

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 23:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
provincialka в сообщении #1032261 писал(а):
Зачем им откуда-то "появляться"?
В том смысле, чтоп пока $x$ не выберете, пару $(x, f(x))$ не построите.

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 23:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Dan B-Yallay
Хм... Не вижу, чем отображения так уж отличаются от всех остальных соотношений! Только тем, что каждому аргументу соответствует одно (или не более одного в другом определении) значение!
Отображение "столица" существует как набор пар (государство, город) и почему я должна выбрать какое-то конкретное государство, чтобы такая пара появилась? Они существуют помимо моего выбора!
Указание первого элемента пары вполне определяет ее -- но это и всё!

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
provincialka в сообщении #1032261 писал(а):
Но тут можно и поспорить...

Помнится как-то возник здесь спор о правильности записи для $g(f(x))$: или $g\circ f$ или $f\circ g$. Здесь тоже можно было бы поспорить, но лучше просто придерживаться более употребимого варианта, как более естественного (очень часто отношение естественности так и возникает / задаётся). Поэтому я и предлагаю использовать тот вариант, который с ходу представляется более естественным, не особенно вникая в аргументацию.

(А в выборе "естестественности" для восьмиклассников мой голос ничем не хуже профессионального -- он немного ближе к народу :)

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение29.06.2015, 23:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Спасибо всем большое! Думаю, я выработаю ход обсуждения на занятиях на основе ваших рекомендаций!

 Профиль  
                  
 
 Re: порядок элементов порядка
Сообщение31.07.2015, 16:55 


07/05/12

127
provincialka в сообщении #1032227 писал(а):
Если отношение симметрично, например $a\sim b$, можно этим не заморачиваться... Но для антисимметричных отношений может возникнуть путаница. Например, в записи $a\prec b$ можно назвать элемент $a$ -- предшествующим, а $b$ -- последующим. Соответственно, наибольший или максимальный элементы должны стоять "справа" от знака отношения!

Я не понимаю, в чем проблема. Посмотрите, что такое инверсия бинарного отношения, и все будет ОК.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group