порядок элементов порядка

[provincialka]

Рассказываю ребятам теорию отношений, и возникает заминка различении "левого" и "правого" элементов. Как соотнести между собой различные способы записи отношений?

Основой является, конечно, представление в виде множества пар. Пусть, например, $(a,b)\in \rho$. Как записать это "в строчку"? В виде $a\,\rho \,b$ или $b\,\rho \,a$?

Если отношение симметрично, например $a\sim b$, можно этим не заморачиваться... Но для антисимметричных отношений может возникнуть путаница. Например, в записи $a\prec b$ можно назвать элемент $a$ -- предшествующим, а $b$ -- последующим. Соответственно, наибольший или максимальный элементы должны стоять "справа" от знака отношения!

Однако в записи $a\geqslant b$ естественно считать последующим (а также наибольшим) элемент, стоящий слева от знака неравенства! В этом случае общее определение (того же максимального элемента) не переносится автоматически на конкретные случаи!

И вообще, какие пары входят в отношение "больше"? Пары $(1;2), (1;3),...$ или, наоборот, $(2; 1), (3;1), ...$? Все время возникает какая-то неприятная путаница.

Кто что подскажет: как и точность соблюсти, и не запутать слушателей (тем более сейчас у меня восьмиклассники)?

[ewert]

А в чём проблема-то?

Если речь, скажем, об отношении "меньше-больше", то просто вводим только один значок -- "меньше" и всё тут. А значок "больше" (формально избыточный) вводим просто для альтернативного описания ровно тех же яиц, но в профиль.

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1032227 писал(а):

И вообще, какие пары входят в отношение "больше"?

какой-то писатель в ответ на вопрос, как нужно писать книги, писал(а):

слева направо!

В нашей культуре человек читает слева направо. Поэтому в отношение "больше" естественно включать $(3, 1)$, а в отношение "меньше" - $(1, 3)$.
В тех учебниках, по которым учился я, использовалось отношение "меньше" как пример строгого порядка и "меньше или равно" как пример нестрого. Оперировать отношением "больше" и понятием максимального элемента вообще нет нужды. Все, что нужно знать про порядок, прекрасно объясняется на "меньше" и минимальности.

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1032233 писал(а):

Оперировать отношением "больше" и понятием максимального элемента вообще нет нужды. Все, что нужно знать про порядок, прекрасно объясняется на "меньше" и минимальности.

Ну, не скажите! Например, часто приходится строить максимальные подмножества (в смысле отношения вложения). И, наоборот, минимальные элементы мне как-то не пригождались!

Anton_Peplov в сообщении #1032233 писал(а):

Человек читает слева направо.

Ага! Например, записи $y = f(x)$ соответствует пара $(y,x)$, как раз слева направо... Или все-таки $(x,y)$?

-- 29.06.2015, 22:32 --

ewert в сообщении #1032232 писал(а):

А в чём проблема-то?

Если речь, скажем, об отношении "меньше-больше", то просто вводим только один значок -- "меньше" и всё тут. А значок "больше" (формально избыточный) вводим просто для альтернативного описания ровно тех же яиц, но в профиль.

Ну, пожалуй... Тем более, что то же отношение вложения множеств $\subset $ больше похоже именно на "меньше". Ладно, будем изгонять "больше" из лексикона

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1032235 писал(а):

Например, часто приходится строить максимальные подмножества (в смысле отношения вложения). И, наоборот, минимальные элементы мне как-то не пригождались!

Интересно. Ладно, минимальное кольцо и минимальная сигма-алгебра над системой множеств, топология наименьших окрестностей и т.д. могут и не пригодиться, это зависит от того, какой областью математики заниматься. А вот где нужно строить максимальные множества, я так сразу и не скажу. Где они Вам нужны, да еще и часто?

provincialka в сообщении #1032235 писал(а):

Например, записи $y = f(x)$ соответствует пара $(y,x)$, как раз слева направо... Или все-таки $(x,y)$?

В алфавите буква $x$ стоит перед буквой $y$, а читаем мы как?... :)
А вообще, давайте не будем растекаться по древу мыслию о записи всех возможных отношений. Ограничимся отношением "больше". Ну серьезно, три больше одного. Пара $(3, 1)$ здесь выглядит естественней ("больше" подставляется вместо запятой). Для Вас - нет? Ну, дело вкуса.

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1032240 писал(а):

Ладно, минимальное кольцо и минимальная сигма-алгебра над системой множеств, топология наименьших окрестностей и т.д. могут и не пригодиться, это зависит от того, какой областью математики заниматься.

Восьмиклассникам точно не пригодятся!

Anton_Peplov в сообщении #1032240 писал(а):

А вот где нужно строить максимальные множества, я так сразу и не скажу. Где они Вам нужны, да еще и часто?

В основном максимальные клики (в графах). И вообще максимальные подмножества ребер, удовлетворяющие определенным свойствам. Например, максимальные эквивалентности, вложенные в толерантность. Или максимальные порядки, вложенные в какое-нибудь не-антисимметричное отношение.

Я же им теорию отношений рассказываю.

[grizzly]

provincialka в сообщении #1032235 писал(а):

Ладно, будем изгонять "больше" из лексикона

Это только чтоб не путать восьмиклассников? Что-то здесь не так. Я голосую за вариант $(1;3)$ для меньше и $(3;1)$ для больше. Это просто выглядит естественным.

provincialka в сообщении #1032235 писал(а):

Например, записи $y = f(x)$ соответствует пара $(y,x)$, как раз слева направо... Или все-таки $(x,y)$?

Так нечестно. Здесь пример другого рода, типа $(x, f(x))$ (это не равноправное отношение, а зависимость -- пока нет $x$ нет и $y$).

[provincialka]

grizzly в сообщении #1032259 писал(а):

Здесь пример другого рода,

Отчасти, да. Но отображение -- это ведь тоже частный случай отношений!
И вот еще пример. Соответствие "столица". Естественно считать, что в паре на первом месте стоит страна, а потом -- город: (Россия, Москва), (США, Вашингтон), (Канада, Оттава), (Австралия, Канберра) и т.д. Но по русски же мы скажем "Москва -- столица России".

Впрочем в данном случае "столица" -- тоже отображение.

Или вот если "Анна -- сестра Сережи", то как записывать пару? Я бы все-таки записала (Сережа, Анна). Но тут можно и поспорить...

-- 29.06.2015, 23:19 --

grizzly в сообщении #1032259 писал(а):

это не равноправное отношение, а зависимость -- пока нет $x$ нет и $y$

А вот это не поняла... Для всякого отображения можно построить "график", то есть множество пар $(x,f(x))$ Зачем им откуда-то "появляться"?

[Dan B-Yallay]

provincialka в сообщении #1032261 писал(а):

Зачем им откуда-то "появляться"?

В том смысле, чтоп пока $x$ не выберете, пару $(x, f(x))$ не построите.

[provincialka]

Dan B-Yallay
Хм... Не вижу, чем отображения так уж отличаются от всех остальных соотношений! Только тем, что каждому аргументу соответствует одно (или не более одного в другом определении) значение!
Отображение "столица" существует как набор пар (государство, город) и почему я должна выбрать какое-то конкретное государство, чтобы такая пара появилась? Они существуют помимо моего выбора!
Указание первого элемента пары вполне определяет ее -- но это и всё!

[grizzly]

provincialka в сообщении #1032261 писал(а):

Но тут можно и поспорить...

Помнится как-то возник здесь спор о правильности записи для $g(f(x))$: или $g\circ f$ или $f\circ g$. Здесь тоже можно было бы поспорить, но лучше просто придерживаться более употребимого варианта, как более естественного (очень часто отношение естественности так и возникает / задаётся). Поэтому я и предлагаю использовать тот вариант, который с ходу представляется более естественным, не особенно вникая в аргументацию.

(А в выборе "естестественности" для восьмиклассников мой голос ничем не хуже профессионального -- он немного ближе к народу :)

[provincialka]

Спасибо всем большое! Думаю, я выработаю ход обсуждения на занятиях на основе ваших рекомендаций!

[LionKing]

provincialka в сообщении #1032227 писал(а):

Если отношение симметрично, например $a\sim b$, можно этим не заморачиваться... Но для антисимметричных отношений может возникнуть путаница. Например, в записи $a\prec b$ можно назвать элемент $a$ -- предшествующим, а $b$ -- последующим. Соответственно, наибольший или максимальный элементы должны стоять "справа" от знака отношения!

Я не понимаю, в чем проблема. Посмотрите, что такое инверсия бинарного отношения, и все будет ОК.