Но ведь не получаем, группы гомологий и когомологий будут просто совпадать.
Это только над
![$\mathbb R$ $\mathbb R$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/0/bc0baa1bd1772406881ea71a3524054d82.png)
. Про
![$\mathbb Z$ $\mathbb Z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/0/c8026b91a0fadc714e024e71961befb382.png)
я ничего не говорил. Свободная часть, конечно, будет одинаковой, но кручение (т. е. куски типа
![$\mathbb Z/2\mathbb Z$ $\mathbb Z/2\mathbb Z$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/b/a7b8e71ea9b25abd0e2ae98b059ae3a082.png)
) будет, вообще говоря, разным. Читайте про формулы универсальных коэффициентов.
Зачем вообще коцепи и когомологии нужны?
Затем, что на когомологиях, дополнительно к структуре группы, есть структура кольца. Диагональное отображение
![$M\to M\times M$ $M\to M\times M$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/8/88863a5d108c0f2dff1a115376f0735182.png)
,
![$x\mapsto (x,x)$ $x\mapsto (x,x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/0/e/80e2bf4495a15c0dcb06cba31ae3ab8d82.png)
, индуцирует отображение когомологий в обратную сторону, т. е.
![$H^{\cdot}(M)\otimes H^{\cdot}M\to H^{\cdot}M$ $H^{\cdot}(M)\otimes H^{\cdot}M\to H^{\cdot}M$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/1/d319c65f5a2294f9a476ff863dfc5ae482.png)
, которое будет умножением в кольце когомологий, превращая его в градуированную
![$\mathbb Z$ $\mathbb Z$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/8/0/c8026b91a0fadc714e024e71961befb382.png)
-алгебру. С гомологиями такого не получится, поскольку отображение будет не в ту сторону, и будет только структура коалгебры, это существенно более экзотический объект.
Прошу прощения за ненаучную болтовню) я не сомневаюсь, что, изучив предмет как следует, можно понять мотивацию и введения когомологий через коцепи.
Это всё правильные вопросы, но только на них уже ответили лет 60 назад в десятках книг и тысячах статей.