2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Когомологии двумерных многообразий
Сообщение31.07.2015, 09:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Группы нульмерных, одномерных и двумерных гомологий сферы $M_p$ с $p$ ручками ($p\geq 0$) имеют вид
$$
H_0(M_p)=\mathbb{Z},\quad H_1(M_p)=\mathbb{Z}^{2p},\quad H_2(M_p)=\mathbb{Z}.
$$
Группы когомологий для этих поверхностей соответственно равны
$$
H^0(M_p)=\mathbb{R},\quad H^1(M_p)=\mathbb{R}^{2p},\quad H^2(M_p)=\mathbb{R}.
$$
(я знаю, что гомологии и когомологии бывают разные, с коэффициентами в различных группах и т.д.; меня интересуют именно те гомологии и когомологии, которые здесь выписаны для поверхностей $M_p$.)
Откуда берётся такое соответствие между гомологиями и когомологиями, с заменой $\mathbb{Z}$ на $\mathbb{R}$, для меня более-менее понятно.

Теперь посмотрим на группы гомологий неориентируемых двумерных многообразий $N_q$ (сфер с $q$ плёнками Мёбиуса, $q\geq 1$).
$$
H_0(N_q)=\mathbb{Z},\quad H_1(N_q)=\mathbb{Z}^{q-1}\oplus\mathbb{Z}_2,\quad H_2(N_q)=0.
$$

1) Пожалуйста, скажите, кто в теме, каковы группы когомологий многообразий $N_q$. Мне это жутко интересно, даже без обоснования, а необходимой техникой, чтобы самостоятельно вычислять эти группы, я пока не владею. У меня тут была гипотеза, взятая почти с потолка и скорее всего неверная, что эти группы будут такими:
$$
H^0(N_q)=\mathbb{R},\quad H^1(N_q)=\mathbb{R}^{q-1},\quad H^2(N_q)=0.
$$

2) Посоветуйте литературу, где бы вычислялись группы когомологий двумерных многообразий, особенно неориентируемых, со всеми необходимыми обоснованиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когомологии двумерных многообразий
Сообщение31.07.2015, 12:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Mikhail_K в сообщении #1041658 писал(а):
я знаю, что гомологии и когомологии бывают разные, с коэффициентами в различных группах и т.д.; меня интересуют именно те гомологии и когомологии, которые здесь выписаны для поверхностей $M_p$.


Даже с учётом данного замечания, подразумевать для гомологий группу $\mathbb Z$, а для когомологий -- группу $\mathbb R$, -- неправильно хотя бы с точки зрения обозначений. Ну и концептуально тоже, никакой двойственности между $\mathbb R$ и $\mathbb Z$ нет.

Mikhail_K в сообщении #1041658 писал(а):
У меня тут была гипотеза, взятая почти с потолка и скорее всего неверная, что эти группы будут такими:
$$
H^0(N_q)=\mathbb{R},\quad H^1(N_q)=\mathbb{R}^{q-1},\quad H^2(N_q)=0.
$$


Если говорить об $H^i(N_q,\mathbb R)$, то верная. Там ничего другого и быть не может: во-первых, потому что свободная часть у $H^i$ и $H_i$ совпадает. Во-вторых, с $H^0$ и $H^2$ всё понятно, а размерность оставшейся не может не совпадать просто из подсчёта эйлеровой характеристики.

Читайте Hatcher, Algebraic Topology. Русский вариант существует тоже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когомологии двумерных многообразий
Сообщение31.07.2015, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
Спасибо!
Выбор $\mathbb{Z}$ для гомологий и $\mathbb{R}$ для когомологий в первом посте был обусловлен тем, что мне, к сожалению, пока что сложно представить какие-либо иные гомологии и когомологии, что они из себя представляют. Что цепь может обходить по одному и тому же месту несколько раз и что такое сложение цепей - это я представляю, а вот что такое цепь с дробными коэффициентами - уже не очень. Когомологии же представляю себе на основе дифференциальных форм.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когомологии двумерных многообразий
Сообщение31.07.2015, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Mikhail_K в сообщении #1041707 писал(а):
а вот что такое цепь с дробными коэффициентами - уже не очень.


Это как раз не так обязательно. Как только вы переходите к дробным коэффициентам, теряется информация о кручении. Больше всего информации содержат именно гомологии с коэффициентами из $\mathbb Z$.

Mikhail_K в сообщении #1041707 писал(а):
Когомологии же представляю себе на основе дифференциальных форм.


Определение, использующее сингулярные коцепи, проще (если уж вы знаете, что такое цепи). Сингулярная коцепь -- это просто $\mathbb Z$-линейное отображение из группы всех цепей в $\mathbb Z$. Соответстсвенно, можно определить на коцепях кодифференциал (по двойственности) и когомологии. Детали у Хатчера.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когомологии двумерных многообразий
Сообщение31.07.2015, 14:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4601
g______d в сообщении #1041712 писал(а):
Определение, использующее сингулярные коцепи, проще (если уж вы знаете, что такое цепи). Сингулярная коцепь -- это просто $\mathbb Z$-линейное отображение из группы всех цепей в $\mathbb Z$.

Если определять так, то возникает вопрос о мотивации такого определения. Зачем вообще коцепи и когомологии нужны? Вводить новое и чуть более сложное понятие (коцепь) на основе известного (цепь) имело бы смысл, если бы, например, мы получили при этом новый топологический инвариант. Но ведь не получаем, группы гомологий и когомологий будут просто совпадать. То есть, типа, мы что-то сделали с цепями и гомологиями, усложнили определение, а толку ноль - теория та же самая.
Тот факт, что дифференциальные формы дают нам топологический инвариант и он, неожиданно, оказывается связанным с гомологиями - это, как минимум, интересно.

Прошу прощения за ненаучную болтовню) я не сомневаюсь, что, изучив предмет как следует, можно понять мотивацию и введения когомологий через коцепи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когомологии двумерных многообразий
Сообщение31.07.2015, 15:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Mikhail_K в сообщении #1041723 писал(а):
Но ведь не получаем, группы гомологий и когомологий будут просто совпадать.


Это только над $\mathbb R$. Про $\mathbb Z$ я ничего не говорил. Свободная часть, конечно, будет одинаковой, но кручение (т. е. куски типа $\mathbb Z/2\mathbb Z$) будет, вообще говоря, разным. Читайте про формулы универсальных коэффициентов.

Mikhail_K в сообщении #1041723 писал(а):
Зачем вообще коцепи и когомологии нужны?


Затем, что на когомологиях, дополнительно к структуре группы, есть структура кольца. Диагональное отображение $M\to M\times M$, $x\mapsto (x,x)$, индуцирует отображение когомологий в обратную сторону, т. е. $H^{\cdot}(M)\otimes H^{\cdot}M\to H^{\cdot}M$, которое будет умножением в кольце когомологий, превращая его в градуированную $\mathbb Z$-алгебру. С гомологиями такого не получится, поскольку отображение будет не в ту сторону, и будет только структура коалгебры, это существенно более экзотический объект.

Mikhail_K в сообщении #1041723 писал(а):
Прошу прощения за ненаучную болтовню) я не сомневаюсь, что, изучив предмет как следует, можно понять мотивацию и введения когомологий через коцепи.


Это всё правильные вопросы, но только на них уже ответили лет 60 назад в десятках книг и тысячах статей.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group