Когомологии двумерных многообразий

[Mikhail_K]

Группы нульмерных, одномерных и двумерных гомологий сферы $M_p$ с $p$ ручками ($p\geq 0$) имеют вид

$$ H_0(M_p)=\mathbb{Z},\quad H_1(M_p)=\mathbb{Z}^{2p},\quad H_2(M_p)=\mathbb{Z}. $$

Группы когомологий для этих поверхностей соответственно равны

$$ H^0(M_p)=\mathbb{R},\quad H^1(M_p)=\mathbb{R}^{2p},\quad H^2(M_p)=\mathbb{R}. $$

(я знаю, что гомологии и когомологии бывают разные, с коэффициентами в различных группах и т.д.; меня интересуют именно те гомологии и когомологии, которые здесь выписаны для поверхностей $M_p$.)
Откуда берётся такое соответствие между гомологиями и когомологиями, с заменой $\mathbb{Z}$ на $\mathbb{R}$, для меня более-менее понятно.

Теперь посмотрим на группы гомологий неориентируемых двумерных многообразий $N_q$ (сфер с $q$ плёнками Мёбиуса, $q\geq 1$).

$$ H_0(N_q)=\mathbb{Z},\quad H_1(N_q)=\mathbb{Z}^{q-1}\oplus\mathbb{Z}_2,\quad H_2(N_q)=0. $$

1) Пожалуйста, скажите, кто в теме, каковы группы когомологий многообразий $N_q$. Мне это жутко интересно, даже без обоснования, а необходимой техникой, чтобы самостоятельно вычислять эти группы, я пока не владею. У меня тут была гипотеза, взятая почти с потолка и скорее всего неверная, что эти группы будут такими:

$$ H^0(N_q)=\mathbb{R},\quad H^1(N_q)=\mathbb{R}^{q-1},\quad H^2(N_q)=0. $$

2) Посоветуйте литературу, где бы вычислялись группы когомологий двумерных многообразий, особенно неориентируемых, со всеми необходимыми обоснованиями.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1041658 писал(а):

я знаю, что гомологии и когомологии бывают разные, с коэффициентами в различных группах и т.д.; меня интересуют именно те гомологии и когомологии, которые здесь выписаны для поверхностей $M_p$.

Даже с учётом данного замечания, подразумевать для гомологий группу $\mathbb Z$, а для когомологий -- группу $\mathbb R$, -- неправильно хотя бы с точки зрения обозначений. Ну и концептуально тоже, никакой двойственности между $\mathbb R$ и $\mathbb Z$ нет.

Mikhail_K в сообщении #1041658 писал(а):

У меня тут была гипотеза, взятая почти с потолка и скорее всего неверная, что эти группы будут такими:

$$ H^0(N_q)=\mathbb{R},\quad H^1(N_q)=\mathbb{R}^{q-1},\quad H^2(N_q)=0. $$

Если говорить об $H^i(N_q,\mathbb R)$, то верная. Там ничего другого и быть не может: во-первых, потому что свободная часть у $H^i$ и $H_i$ совпадает. Во-вторых, с $H^0$ и $H^2$ всё понятно, а размерность оставшейся не может не совпадать просто из подсчёта эйлеровой характеристики.

Читайте Hatcher, Algebraic Topology. Русский вариант существует тоже.

[Mikhail_K]

Спасибо!
Выбор $\mathbb{Z}$ для гомологий и $\mathbb{R}$ для когомологий в первом посте был обусловлен тем, что мне, к сожалению, пока что сложно представить какие-либо иные гомологии и когомологии, что они из себя представляют. Что цепь может обходить по одному и тому же месту несколько раз и что такое сложение цепей - это я представляю, а вот что такое цепь с дробными коэффициентами - уже не очень. Когомологии же представляю себе на основе дифференциальных форм.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1041707 писал(а):

а вот что такое цепь с дробными коэффициентами - уже не очень.

Это как раз не так обязательно. Как только вы переходите к дробным коэффициентам, теряется информация о кручении. Больше всего информации содержат именно гомологии с коэффициентами из $\mathbb Z$.

Mikhail_K в сообщении #1041707 писал(а):

Когомологии же представляю себе на основе дифференциальных форм.

Определение, использующее сингулярные коцепи, проще (если уж вы знаете, что такое цепи). Сингулярная коцепь -- это просто $\mathbb Z$-линейное отображение из группы всех цепей в $\mathbb Z$. Соответстсвенно, можно определить на коцепях кодифференциал (по двойственности) и когомологии. Детали у Хатчера.

[Mikhail_K]

g______d в сообщении #1041712 писал(а):

Определение, использующее сингулярные коцепи, проще (если уж вы знаете, что такое цепи). Сингулярная коцепь -- это просто $\mathbb Z$-линейное отображение из группы всех цепей в $\mathbb Z$.

Если определять так, то возникает вопрос о мотивации такого определения. Зачем вообще коцепи и когомологии нужны? Вводить новое и чуть более сложное понятие (коцепь) на основе известного (цепь) имело бы смысл, если бы, например, мы получили при этом новый топологический инвариант. Но ведь не получаем, группы гомологий и когомологий будут просто совпадать. То есть, типа, мы что-то сделали с цепями и гомологиями, усложнили определение, а толку ноль - теория та же самая.
Тот факт, что дифференциальные формы дают нам топологический инвариант и он, неожиданно, оказывается связанным с гомологиями - это, как минимум, интересно.

Прошу прощения за ненаучную болтовню) я не сомневаюсь, что, изучив предмет как следует, можно понять мотивацию и введения когомологий через коцепи.

[g______d]

Mikhail_K в сообщении #1041723 писал(а):

Но ведь не получаем, группы гомологий и когомологий будут просто совпадать.

Это только над $\mathbb R$. Про $\mathbb Z$ я ничего не говорил. Свободная часть, конечно, будет одинаковой, но кручение (т. е. куски типа $\mathbb Z/2\mathbb Z$) будет, вообще говоря, разным. Читайте про формулы универсальных коэффициентов.

Mikhail_K в сообщении #1041723 писал(а):

Зачем вообще коцепи и когомологии нужны?

Затем, что на когомологиях, дополнительно к структуре группы, есть структура кольца. Диагональное отображение $M\to M\times M$, $x\mapsto (x,x)$, индуцирует отображение когомологий в обратную сторону, т. е. $H^{\cdot}(M)\otimes H^{\cdot}M\to H^{\cdot}M$, которое будет умножением в кольце когомологий, превращая его в градуированную $\mathbb Z$-алгебру. С гомологиями такого не получится, поскольку отображение будет не в ту сторону, и будет только структура коалгебры, это существенно более экзотический объект.

Mikhail_K в сообщении #1041723 писал(а):

Прошу прощения за ненаучную болтовню) я не сомневаюсь, что, изучив предмет как следует, можно понять мотивацию и введения когомологий через коцепи.

Это всё правильные вопросы, но только на них уже ответили лет 60 назад в десятках книг и тысячах статей.