На основании эмпирических данных приведённых в таблице (1) выдвигаются следующие гипотезы:
a)
что равносильно утверждению
где,
- совершенное число с индексом
(
A000396)
- количество собственных делителей
(
A133033)
- функция делителей
- дзета-функция от количества
собственных делителей
b)
Верхний и нижний предел
-го совершенного числа
c) Пусть
- совершенное число и
, тогда существуют такие
и
, что
, причём
- количество собственных делителей
, выполняется неравенство
и существует предел
d) Из a) и
- бесконечность совершенных чисел, и, как следствие,бесконечность простых чисел Мерсенна (
A000668), а также связь асимптотики последних с дзета-функцией.
Таблица 1.