2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 09:12 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1040957 писал(а):
Sergic Primazon в сообщении #1040950 писал(а):
$$ (\alpha \beta^{\alpha-\beta}-\beta \ge 0)$$

Почему это верно?

$1 \ge \alpha \ge \beta >0$
$$\Leftrightarrow \beta^{1+\beta-\alpha} \le \alpha$$
По н. Бернулли : $(1-(1-\beta))^{1+\beta-\alpha} \le 1-(1-\beta)(1+\beta-\alpha)=\beta^2+\alpha-\alpha\beta \le \alpha$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 10:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
По моему, всё правильно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Да, замечательная двухходовка!
Напрашивающееся усиление уже будет трёхходовкой, наверное:
$$
2\sqrt{a^ab^b}\ge a^b+b^a.
$$
А если слева поставить среднее гармоническое, то для $a,b\in (0;1)$ станет наверняка оффтопом, но, вроде, всё ещё верным :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
grizzly в сообщении #1041001 писал(а):
Напрашивающееся усиление уже будет трёхходовкой, наверное:
$$
2\sqrt{a^ab^b}\ge a^b+b^a.
$$

Нашёл любопытные статьи по этому поводу: здесь и по ссылкам в аннотации. Оказалось, что подобные обобщения уже из серии нетривиальных.

И теперь меня гложет интерес про более сильное неравенство -- доказано оно уже или нет:
$$
\dfrac{4}{a^{-a}+b^{-b}}\ge a^b+b^a, \qquad a,b\in (0;1)
$$
?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 14:42 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Жуткое доказательство этого Матежичка. Кто-то, видимо, это проверил. :shock:
Ваше неравенство я вижу первый раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 15:12 


25/08/11

1074
вот тоже:
http://www.journalofinequalitiesandappl ... 2014/1/509

-- 28.07.2015, 16:20 --

Неравенство:
$$
\frac{a+b}{2} \le a^{\frac{a}{a+b}} b^{\frac{b}{a+b}}.
$$
Интересно, что среднее арифметическое меньше среднего геометрического, потому что с разными весами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 15:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1041047 писал(а):
вот тоже:

Это я ссылки перепутал -- хотел именно на эту сослаться :)

arqady в сообщении #1041041 писал(а):
Ваше неравенство я вижу первый раз.

Но ведь логическая цепочка к нему очень простая. Я уже успел с ним поиграться руками. Вроде как оно верно для $a,b\in (0;1.6213...)$, но ко второму числу я не подобрал разумное выражение через логарифмы и экспоненты. Зато заметил по дороге, что с неплохой точностью $\frac{\pi+1}{e}\approx \pi^\frac1e$ :D
(где-то видел подборку таких шуточных равенств, но этого не припомню)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 17:10 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
sergei1961 в сообщении #1041047 писал(а):

Неравенство:
$$
\frac{a+b}{2} \le a^{\frac{a}{a+b}} b^{\frac{b}{a+b}}.
$$

Это Йенсен для функции $f(x)=x\ln x$.

9. $a>0$, $b>0$. Докажите, что:
$$a^ab^b\geq\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^{\frac{a+b}{2}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 18:08 


25/08/11

1074
Я так на него не смотрел, спасибо. Ваше посильнее:
$$
a^{\frac{a}{a+b}} b^{\frac{b}{a+b}} \ge M_2(a,b) \ge M_1(a,b).
$$
Интересно, какой тут допустим точный порядок среднего $M_r$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 21:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Со среним квадратическим мы получаем лучшую оценку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение28.07.2015, 21:41 


25/08/11

1074
Понятно, буду пробовать доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 03:40 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
10. Докажите, что в любом треугольнике $r_a<4R$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 08:54 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1041182 писал(а):
10. Докажите, что в любом треугольнике $r_a<4R$.


$A_1- $точка пересечения биссектрисы $\angle A $ с описанной окружностью$\triangle ABC$. Тогда очевидно выполняется:
$$r+r_a \le 2 A_1C= 4R\sin (\frac {\alpha}{2})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 09:37 


03/03/12
1380
sergei1961 в сообщении #1041047 писал(а):
Неравенство:
$$
\frac{a+b}{2} \le a^{\frac{a}{a+b}} b^{\frac{b}{a+b}}.
$$

Это однородное неравенство. Его достаточно доказать для $a+b=2$. Тогда достаточно доказать, что
$a^ab^b\ge1$ (логарифмированием; про Йенсена слышала, но само неравенство не помню.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенства (одно-двухходoвки)
Сообщение29.07.2015, 11:19 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Sergic Primazon , можно ещё так:
$r_a+r_b+r_c=r+4R$. :D
11. В остроугольном треугольнике докажите, что:
$$\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}\leq2$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 71 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group