Неравенства (одно-двухходoвки)

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1040957 писал(а):

Sergic Primazon в сообщении #1040950 писал(а):

$$ (\alpha \beta^{\alpha-\beta}-\beta \ge 0)$$

Почему это верно?

$1 \ge \alpha \ge \beta >0$

$$\Leftrightarrow \beta^{1+\beta-\alpha} \le \alpha$$

По н. Бернулли : $(1-(1-\beta))^{1+\beta-\alpha} \le 1-(1-\beta)(1+\beta-\alpha)=\beta^2+\alpha-\alpha\beta \le \alpha$

[arqady]

По моему, всё правильно.

[grizzly]

Да, замечательная двухходовка!
Напрашивающееся усиление уже будет трёхходовкой, наверное:

$$ 2\sqrt{a^ab^b}\ge a^b+b^a. $$

А если слева поставить среднее гармоническое, то для $a,b\in (0;1)$ станет наверняка оффтопом, но, вроде, всё ещё верным

[grizzly]

grizzly в сообщении #1041001 писал(а):

Напрашивающееся усиление уже будет трёхходовкой, наверное:

$$ 2\sqrt{a^ab^b}\ge a^b+b^a. $$

Нашёл любопытные статьи по этому поводу: здесь и по ссылкам в аннотации. Оказалось, что подобные обобщения уже из серии нетривиальных.

И теперь меня гложет интерес про более сильное неравенство -- доказано оно уже или нет:

$$ \dfrac{4}{a^{-a}+b^{-b}}\ge a^b+b^a, \qquad a,b\in (0;1) $$

?

[arqady]

Жуткое доказательство этого Матежичка. Кто-то, видимо, это проверил.
Ваше неравенство я вижу первый раз.

[sergei1961]

вот тоже:
http://www.journalofinequalitiesandappl ... 2014/1/509

-- 28.07.2015, 16:20 --

Неравенство:

$$ \frac{a+b}{2} \le a^{\frac{a}{a+b}} b^{\frac{b}{a+b}}. $$

Интересно, что среднее арифметическое меньше среднего геометрического, потому что с разными весами.

[grizzly]

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1041047 писал(а):

вот тоже:

Это я ссылки перепутал -- хотел именно на эту сослаться :)

arqady в сообщении #1041041 писал(а):

Ваше неравенство я вижу первый раз.

Но ведь логическая цепочка к нему очень простая. Я уже успел с ним поиграться руками. Вроде как оно верно для $a,b\in (0;1.6213...)$, но ко второму числу я не подобрал разумное выражение через логарифмы и экспоненты. Зато заметил по дороге, что с неплохой точностью $\frac{\pi+1}{e}\approx \pi^\frac1e$
(где-то видел подборку таких шуточных равенств, но этого не припомню)

[arqady]

sergei1961 в сообщении #1041047 писал(а):

Неравенство:

$$ \frac{a+b}{2} \le a^{\frac{a}{a+b}} b^{\frac{b}{a+b}}. $$

Это Йенсен для функции $f(x)=x\ln x$.

9. $a>0$, $b>0$. Докажите, что:

$$a^ab^b\geq\left(\frac{a^2+b^2}{2}\right)^{\frac{a+b}{2}}$$

[sergei1961]

Я так на него не смотрел, спасибо. Ваше посильнее:

$$ a^{\frac{a}{a+b}} b^{\frac{b}{a+b}} \ge M_2(a,b) \ge M_1(a,b). $$

Интересно, какой тут допустим точный порядок среднего $M_r$?

[arqady]

Со среним квадратическим мы получаем лучшую оценку.

[sergei1961]

Понятно, буду пробовать доказать.

[arqady]

10. Докажите, что в любом треугольнике $r_a<4R$.

[Sergic Primazon]

arqady в сообщении #1041182 писал(а):

10. Докажите, что в любом треугольнике $r_a<4R$.

$A_1- $точка пересечения биссектрисы $\angle A $ с описанной окружностью$\triangle ABC$. Тогда очевидно выполняется:

$$r+r_a \le 2 A_1C= 4R\sin (\frac {\alpha}{2})$$

[TR63]

sergei1961 в сообщении #1041047 писал(а):

Неравенство:

$$ \frac{a+b}{2} \le a^{\frac{a}{a+b}} b^{\frac{b}{a+b}}. $$

Это однородное неравенство. Его достаточно доказать для $a+b=2$. Тогда достаточно доказать, что
$a^ab^b\ge1$ (логарифмированием; про Йенсена слышала, но само неравенство не помню.)

[arqady]

Sergic Primazon , можно ещё так:
$r_a+r_b+r_c=r+4R$.
11. В остроугольном треугольнике докажите, что:

$$\frac{(a-b)^2}{c^2}+\frac{(b-c)^2}{a^2}+\frac{(c-a)^2}{b^2}\leq2$$