Спектр нестандартного оператора

[Blancke_K]

В релятивистских задачах для Кулоновского поля встречается потенциал $V(r)=-a/r^2+2b/r$. Спектр этого оператора неограничен снизу при $a>1/4$. Я сейчас рассматриваю одну toy model, в которой ко всему этому ужасу добавляется точечное отталкивание: $V(r)=-a/r^2+b/r+c\delta(r)$. Какими методами можно доказать ограниченность спектра этого оператора снизу при $a>1/4$?

[g______d]

Я думаю, стоит посмотреть книгу Альбеверио и др., "Решаемые модели в квантовой механике".

[Red_Herring]

Прежде чем говорить о спектре стоит разобраться с областью определения. Кроме того: идет ли речь о 3х мерном или 1мерном операторе?

[g______d]

Думаю, что о трёхмерном. Глава I.2. Правда, там рассмотрен более простой случай.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1040860 писал(а):

Думаю, что о трёхмерном. Глава I.2. Правда, там рассмотрен более простой случай.

Тогда что такое $\delta (r )$? Или это неграмотно записанное $\delta(\mathbf{r})$ которое однако равно $\frac{1}{4\pi}r^{-2}\delta (r )$?

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1040871 писал(а):

неграмотно записанное $\delta(\mathbf{r})$

Наверное, оно, но лучше подождать ТС.

[Blancke_K]

Всем спасибо за отклик.
Да, я забыл поставить значок вектора. Речь идет именно о $\delta(\vec{r})$.
Red_Herring
А что нужно сказать про область определения?

[Red_Herring]

Blancke_K в сообщении #1040881 писал(а):

А что нужно сказать про область определения?

На каких ф-ях оператор определен. Но думаю, что в данном случае можно при $c>0$ попробовать через квадратичную форму: надо доказать ее полуограниченность снизу

[Blancke_K]

Red_Herring
Ну квадратично-суммируемые конечно, у нас же квант.мех.
Какая квадратичная форма, где почитать?
Да, $c>0$ - точечное отталкивание.

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1040883 писал(а):

Но думаю, что в данном случае можно при $c>0$ попробовать через квадратичную форму: надо доказать ее полуограниченность снизу

Вроде нельзя: $W_2^1$ не вкладывается в $C$.

Blancke_K в сообщении #1040885 писал(а):

где почитать?

см. книжку, упомянутую выше.

[Blancke_K]

g______d
Спасибо, буду смотреть.
У этого оператора кстати довольно приятное преобразование Фурье, правда как это может пригодиться я пока не знаю.