2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 15:53 
В релятивистских задачах для Кулоновского поля встречается потенциал $V(r)=-a/r^2+2b/r$. Спектр этого оператора неограничен снизу при $a>1/4$. Я сейчас рассматриваю одну toy model, в которой ко всему этому ужасу добавляется точечное отталкивание: $V(r)=-a/r^2+b/r+c\delta(r)$. Какими методами можно доказать ограниченность спектра этого оператора снизу при $a>1/4$?

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 16:12 
Аватара пользователя
Я думаю, стоит посмотреть книгу Альбеверио и др., "Решаемые модели в квантовой механике".

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 17:33 
Аватара пользователя
Прежде чем говорить о спектре стоит разобраться с областью определения. Кроме того: идет ли речь о 3х мерном или 1мерном операторе?

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 17:53 
Аватара пользователя
Думаю, что о трёхмерном. Глава I.2. Правда, там рассмотрен более простой случай.

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 18:25 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #1040860 писал(а):
Думаю, что о трёхмерном. Глава I.2. Правда, там рассмотрен более простой случай.


Тогда что такое $\delta (r )$? Или это неграмотно записанное $\delta(\mathbf{r})$ которое однако равно $\frac{1}{4\pi}r^{-2}\delta (r )$?

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 18:26 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #1040871 писал(а):
неграмотно записанное $\delta(\mathbf{r})$


Наверное, оно, но лучше подождать ТС.

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 19:03 
Всем спасибо за отклик.
Да, я забыл поставить значок вектора. Речь идет именно о $\delta(\vec{r})$.
Red_Herring
А что нужно сказать про область определения?

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 19:16 
Аватара пользователя
Blancke_K в сообщении #1040881 писал(а):
А что нужно сказать про область определения?

На каких ф-ях оператор определен. Но думаю, что в данном случае можно при $c>0$ попробовать через квадратичную форму: надо доказать ее полуограниченность снизу

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 19:21 
Red_Herring
Ну квадратично-суммируемые конечно, у нас же квант.мех.
Какая квадратичная форма, где почитать?
Да, $c>0$ - точечное отталкивание.

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 19:23 
Аватара пользователя
Red_Herring в сообщении #1040883 писал(а):
Но думаю, что в данном случае можно при $c>0$ попробовать через квадратичную форму: надо доказать ее полуограниченность снизу


Вроде нельзя: $W_2^1$ не вкладывается в $C$.

Blancke_K в сообщении #1040885 писал(а):
где почитать?


см. книжку, упомянутую выше.

 
 
 
 Re: Спектр нестандартного оператора
Сообщение27.07.2015, 19:32 
g______d
Спасибо, буду смотреть.
У этого оператора кстати довольно приятное преобразование Фурье, правда как это может пригодиться я пока не знаю.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group