Производная по параметру от решения задачи Коши

[tpm01]

Есть такая задачка (пытаюсь решать для самообразования):
Найти производную по параметру $\lambda$ от решения $y=\varphi(x, \lambda)$ задачи Коши: $y'=y-y^2+\lambda\cdot(x+y^3)$, $y(0)=0$.
Начала решать. Пример нашла такой. Там пример №1 похож на решаемую задачку и, соответственно, начала решать аналогично:
Переписываю задачу Коши с переменной и параметром (более подробно):
$y'_x(x, \lambda)=y(x, \lambda)-y(x, \lambda)^2+\lambda\cdot(x+y(x, \lambda)^3), y(0, \lambda)=0 $
Дифференцирую по $\lambda$, получаю:
$\frac{du}{dx}=u-2\cdot y(x, \lambda)\cdot u + x + y(x, \lambda)^3+\lambda\cdot y(x, \lambda)^2 \cdot 3 \cdot u$,
где $u=\frac{\partial y(x, \lambda)}{\partial \lambda}$ и $u(0, \lambda)=0$
Полагая здесь $\lambda =0$, получаем задачу для функции $\frac{\partial y}{\partial \lambda} \right || _{\lambda=0} = u(x, 0)$
$\frac{du(x,0)}{dx}=u(x, 0) - 2\cdot u(x, 0)\cdot y(x, 0) + x +y(x, 0)^3$ и $u(0, 0)=0$.
Функция $x\mapsto y(x, 0)$ решение следующей задачи (здесь, как я поняла, в исходной задаче Коши обнуляем параметр):
$y'(x,0)=y(x,0)-y(x, 0)^2$ и $y(0, 0)=0$
Т.е. получается такое Д.У.: $y'=y-y^2$ и здесь загвоздка: решение его $y(x)=\frac{e^x}{C+e^x}$, т.е. оно через 0 не проходит. Подскажите, пожалуйста, это я где-то ошиблась или все же в задании может быть ошибка?

[Red_Herring]

tpm01 в сообщении #1040440 писал(а):

Т.е. получается такое Д.У.: ... и здесь загвоздка: решение его ..., т.е. оно через 0 не проходит. Подскажите, пожалуйста, это я где-то ошиблась или все же в задании может быть ошибка?

Разумеется ошибка. Смотрите:

$$y'=y-y^2, \qquad y(0)=0$$

Какое решение? Навскидку…

Просто Вы его получите при $C=\infty$

[tpm01]

Red_Herring, спасибо огромное!
$y=0$

[ewert]

tpm01 в сообщении #1040440 писал(а):

здесь загвоздка: решение его $y(x)=\frac{e^x}{C+e^x}$, т.е. оно через 0 не проходит. Подскажите, пожалуйста, это я где-то ошиблась

Это не то что бы ошибка -- это странность. При стандартном решении константа будет входить иначе, и никаких проблем не возникнет.

Это во-первых. А во-вторых: Вы ведь, небось, разделением переменных решали. А оно подразумевает деление, а при любом делении всегда необходимо оговаривать особые случаи. Только тогда ни одно решение не потеряется.