Диффиринциальное уравнение.

[RIP]

Учитывая, что $y$ является функцией от $x$, мне первый вариант больше по душе.

Добавлено спустя 41 секунду:

Знаете, я бы Вам посоветовал на первых порах, пока не привыкнете, писать аргументы у функций (т.е. писать $y(x)$, $u(x)$ и т.д.), хотя бы в черновике. Возможно, тогда при дифференцировании будет меньше ошибок.

[Кольчик]

то есть получается $u'=\frac{4+2y'}{2\sqrt{4x+2y-1}}$ и из этого выражения надо выразить $y'$?

Добавлено спустя 2 минуты 13 секунд:

А что дальше делать я что-то не пойму?

[RIP]

Кольчик писал(а):

то есть получается $u'=\frac{4+2y'}{2\sqrt{4x+2y-1}}$

Похоже на правду (дробь можно слегка сократить).

Кольчик писал(а):

и из этого выражения надо выразить $y'$?

Нет, теперь нужно сделать так, чтобы $y$ в нём вообще не фигурировал. Для этого, во-первых, воспользуйтесь определением функции $u$ (это поможет выразить знаменатель через $u$), во-вторых, воспользуйтесь дифференциальным уравнением для $y$, чтобы выразить $y'$ через $u$ (это поможет справиться с числителем).

[Кольчик]

Спасибо за помощь!!!

[RIP]

Знаете, на самом деле мы всё слишком усложняем. Можно пойти по-другому (и надо было с самого начала). Смотрите, мы хотим решить
$y'(x)=\sqrt{4x+2y(x)-1}$.
Введём новую функцию
$u(x)=\sqrt{4x+2y(x)-1}$.
Уравнение тогда запишется в виде
$y'(x)=u(x)$.
Мы хотим в итоге получить уравнение относительно $u(x)$, т.е. надо "избавиться" от $y'(x)$ в этом уравнении, точнее, выразить $y'(x)$ через новую функцию $u(x)$ (и её производные, а также через $x$). Для этого мы сначала выражаем $y(x)$ через $u(x)$:
$y(x)=\frac12u(x)^2-2x+\frac12$,
а уже отсюда находим $y'(x)$:
$y'(x)=\bigl(\frac12u(x)^2-2x+\frac12\bigr)'=...$
и подставляем в уравнение.

Добавлено спустя 28 секунд:

Кольчик писал(а):

Спасибо за помощь!!!

Пожалуйста.