Оценки частичных сумм экспоненциального ряда

[grizzly]

amarsianin в сообщении #1040059 писал(а):

Это каким образом?

$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} =q-p+\sum\limits_{k=2}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > q-p - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} $$

(Оффтоп)

Правилами форума запрещено в этом разделе решать за ТС тривиальные вещи, но никакого терпения не хватит смотреть, как такого уровня подзадача обсуждается несколько дней.

[amarsianin]

grizzly в сообщении #1040066 писал(а):

amarsianin в сообщении #1040059 писал(а):

Это каким образом?

$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} =q-p+\sum\limits_{k=2}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > q-p - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} $$

(Оффтоп)

Правилами форума запрещено в этом разделе решать за ТС тривиальные вещи, но никакого терпения не хватит смотреть, как такого уровня подзадача обсуждается несколько дней.

n=2, p=-10, q=1

Решайте. Удачи

[grizzly]

amarsianin в сообщении #1040068 писал(а):

Решайте. Удачи

Ага, понятно! Тогда сорри

[amarsianin]

Дополнение.

В принципе, можно избавиться от второго и третьего сумманда в неравенстве

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} - \frac{|q|^{n+1}}{(n+1)!} - \frac{|p|^{n+1}}{(n+1)!} > \frac{1}{h} $$

полагая, что $n$ чётное. Тогда справедливо:

$$ \sum_{k=0}^{n-l-1} \frac{p^k}{k!} \geq \sum_{k=0}^{n-l-3} \frac{p^k}{k!} $$

при $n \geq |p|+l+1$

Это делается взятием нижнего значения оценки на последующие частичные суммы $l$ раз: берём частичную сумму и отнимаем максимальное значение половины оценки а последующие частичные суммы.

Тогда задачу можно свести к чуть более простой:

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{q^k - p^k}{k!} > \frac{1}{h} $$

(решить для $n,h$ при заданных $p,q,p<q$)

Поскольку, оценку на последующие частичные суммы можно сделать сколь угодно малой, сведение к такой задаче считаю разумным.

-- 24.07.2015, 09:13 --

... и отнимаем максимальное значение половины оценки на последующие частичные суммы ...

-- 24.07.2015, 09:16 --

Стоит ещё добавить, что оценки на последующие частичные суммы разрешимы относительно $n$: просто достаточно взять $\lceil | p | \rceil ^{\lceil | p | \rceil}$ плюс нужная константа. Это достаточно грубая оценка, но нам это не важно, главное, обеспечить достаточно малое значение.

[grizzly]

amarsianin
А насколько оптимальным должен быть выбор $n$ и $h$? Если нужна какая-то оптимальность, то пока совершенно непонятно, что оптимизировать. А если мы не особо заботимся об оптимальности, то можно сделать выбор очень грубыми прикидками.

Целостностью задачи я так и не проникся; это усложняет. Поэтому я прошу Вас посмотреть на такую программу действий и сказать, насколько она Вам подходит или где Вы видите основные сомнения.
(Это набросок на уровне идеи, параметры взяты грубо с запасом -- искать смысл в точном выражении каждого из них необязательно).

Пусть $g=\max(|p|,|q|,|1/p|,|1/q|, 1/(|p|-|q|),1/|e^{|p|}-e^{|q|}|)$; выберем $n=100(g+1).$ Нужно проверить, что
(1) $n$-й член разложения экспонент для $p$ и для $q$ достаточно мал (формула Стирлинга);
(2) каждая из экспонент приближена (рассматриваемой частичной суммой из $n$ слагаемых) с точностью, превышающей $t=\min(0.01,(|p|-|q|)/100, |e^{|p|}-e^{|q|}|/100)$;
(3) в качестве $h$ можно взять $[10/t]$.

[amarsianin]

grizzly в сообщении #1040117 писал(а):

amarsianin
А насколько оптимальным должен быть выбор $n$ и $h$? Если нужна какая-то оптимальность, то пока совершенно непонятно, что оптимизировать. А если мы не особо заботимся об оптимальности, то можно сделать выбор очень грубыми прикидками.

Целостностью задачи я так и не проникся; это усложняет. Поэтому я прошу Вас посмотреть на такую программу действий и сказать, насколько она Вам подходит или где Вы видите основные сомнения.
(Это набросок на уровне идеи, параметры взяты грубо с запасом -- искать смысл в точном выражении каждого из них необязательно).

Пусть $g=\max(|p|,|q|,|1/p|,|1/q|, 1/(|p|-|q|),1/|e^{|p|}-e^{|q|}|)$; выберем $n=100(g+1).$ Нужно проверить, что
(1) $n$-й член разложения экспонент для $p$ и для $q$ достаточно мал (формула Стирлинга);
(2) каждая из экспонент приближена (рассматриваемой частичной суммой из $n$ слагаемых) с точностью, превышающей $t=\min(0.01,(|p|-|q|)/100, |e^{|p|}-e^{|q|}|/100)$;
(3) в качестве $h$ можно взять $[10/t]$.

Благодарю за участие. Нет, никакого критерия оптимальности нет, подойдут любые значения, если они гарантированно находятся за конечное число шагов. По поводу сути задачи могу только сказать, что я хочу элементарными средствами показать, что частичные суммы экспоненциального ряда строго возрастают, потому что предистория, правда, неинтересна и только может привести к ненужным дискуссиям.

По поводу Вашего подхода могу сказать пока, что идею не уловил (надо подумать), но использование экспонент в оценке $g$ может быть опасно зацикленностью (мы, по сути, и приближаем их в задаче). Как формулу Стирлинга в данном случае применить, я пока тоже не вижу. Она даёт конкретную оценку на n-й член разложения?

-- 24.07.2015, 12:32 --

Хотя, в прицнипе, можно взять вместо $\frac{1}{|e^{|p|} - e^{|q|} |}$ его рациональное приближение, которое гарантированно больше его самого, скажем, взяв некоторое произвольное число суммандов для экспоненциального ряда и добавив максимум оценки на последующие.

-- 24.07.2015, 12:33 --

Но проблема в том, что тут опять сидит разность и тогда мы зацикливаемся ...

[grizzly]

amarsianin в сообщении #1040139 писал(а):

можно взять вместо $\frac{1}{|e^{|p|} - e^{|q|} |}$

Не нужно, забудем про эту дробь, она нам никогда не понадобится. Хотя про вред от экспонент я не понял: у нас ведь $p,q$ просто данные числа, мы можем делать с ними что угодно; числа $n,h$ можем посчитать на другом калькуляторе, имея заданные $p,q$, -- мы же в этом месте никак не интересуемся самой задачей.

Попробовал расписывать подробнее идею, но это получается слишком громоздко. Вернусь в начало и обсудим "на пальцах".

У нас есть $p< q$ (в поставленной Вами задаче их рациональность безразлична). Обозначим $u=\exp(p), v=\exp(q)$ и $\delta =v-u>0$. Ещё обозначение: $u_n, v_n$ -- приближения частичными суммами ($n$ слагаемых) разложения в ряд для $u,v$, соответственно.
Можно утверждать следующее: для любых $p,q\in \mathbb R, p<q$ и $h>1$ найдётся такое $N_0$, что для всех $n\ge N_0$ будет выполнено неравенство $v_n-u_n>\delta /h$.
Вы узнаёте в этом свою задачу (может быть, немного усиленную)? Это утверждение очень легко доказывается. Нас же интересует какое-то явное выражение для $N_0$ (выражение для $h$ в такой постановке уже не нужно).

[amarsianin]

grizzly в сообщении #1040159 писал(а):

amarsianin в сообщении #1040139 писал(а):

можно взять вместо $\frac{1}{|e^{|p|} - e^{|q|} |}$

Не нужно, забудем про эту дробь, она нам никогда не понадобится. Хотя про вред от экспонент я не понял: у нас ведь $p,q$ просто данные числа, мы можем делать с ними что угодно; числа $n,h$ можем посчитать на другом калькуляторе, имея заданные $p,q$, -- мы же в этом месте никак не интересуемся самой задачей.

Попробовал расписывать подробнее идею, но это получается слишком громоздко. Вернусь в начало и обсудим "на пальцах".

У нас есть $p\ne q$ (в поставленной Вами задаче их рациональность безразлична). Обозначим $u=\exp(p) \ne v=\exp(q)$ и $\delta =v-u>0$. Ещё обозначение: $u_n, v_n$ -- приближения частичными суммами ($n$ слагаемых) разложения в ряд для $u,v$, соответственно.
Можно утверждать следующее: для любых $p,q\in \mathbb R, h>1$ найдётся такое $N_0$, что для всех $n\ge N_0$ будет выполнено неравенство $v_n-u_n>\delta /h$.
Вы узнаёте в этом свою задачу (может быть, немного усиленную)? Это утверждение очень легко доказывается. Нас же интересует какое-то явное выражение для $N_0$ (выражение для $h$ в такой постановке уже не нужно).

Ну, очевидные вещи и мне очевидны ...

Вот Ваша идея, особенно если мы можем "забыть" про ту дробь, была бы интересна. Но я пока не понимаю, как формулу Стирлинга применить, ведь она даст нам $O(\ln(n))$ и что с ним делать? Или Вы предлагает взять оценки на факториал n?

Кстати, нетрудно догадаться, что если оба $p$ и $q$ положительны, то задача тривиальна. Сложнее, если хотя бы одно отрицательное. Тогда всплывает знакоперменный ряд. Но дальше я не знаю, что с ним делать.

[grizzly]

amarsianin в сообщении #1040161 писал(а):

Ну, очевидные вещи и мне очевидны ...

Очевидные вещи на то и очевидные. Я про другое спрашивал. Вы согласны, что для Ваших целей достаточно решить эту задачу и что мы можем её решать отдельно, забыв предысторию?

[amarsianin]

grizzly в сообщении #1040162 писал(а):

amarsianin в сообщении #1040161 писал(а):

Ну, очевидные вещи и мне очевидны ...

Очевидные вещи на то и очевидные. Я про другое спрашивал. Вы согласны, что для Ваших целей достаточно решить эту задачу и что мы можем её решать отдельно, забыв предысторию?

Мне не нравится такая постановка, вот всё, что могу Вам сказать. Мы аппроксимируем экспоненты и ищем оценки этих аппроксимаций, удов. определённым условиям (поэтому я и просил алгоритм с конечным числом шагов и сразу сделал оговорку на рациональные числа). А тут происходит подмена, когда мы эти экспоненты сразу вставляем в задачу. Не хочу обрубать подход на корню тем не менее. Давайте посмотрим, как можно найти $N_0$ в данном случае.

[Lia]

amarsianin
Устное замечание за избыточное цитирование. Для выборочного цитирования предназначена кнопка "Вставка". Или правьте цитату до минимального необходимого размера.

[amarsianin]

В конце концов, пёс с ним с $h$. Покажем строгое неравенство да возьмём половину разницы между частичными суммами. Если уж Вас $h$ смущает

[grizzly]

amarsianin в сообщении #1040173 писал(а):

Если уж Вас $h$ смущает

Нет, не смущает. Я пытался прояснить задачу, которая для меня по-прежнему не выглядит естественно. Но я пока отошёл от темы, не знаю, вернусь ли. Распишу под катом чуть подробнее (с изменениями), что я имел в виду про формулу Стирлинга (не пропадать же добру).

(Недоделки)

Пусть $g=\max(|p|,|q|,|1/p|,|1/q|, |pq|/(|p|-|q|))$; выберем $n=10g^2.$ Подставим в $\dfrac {p^n}{n!}$ и применим формулу Стирлинга:

$$ \left|\dfrac {(p\cdot e/10g^2)^{10g^2}}{\sqrt{2\pi n}}\right |<\left|\frac{e}{10g}\right |^{10g^2}. $$

Остаток ряда разложения можем оценить сверху этим числом.

Мне казалось, что этой точности должно хватить (если взять в качестве $h$ часть от последней дроби) для решения задачи. Сейчас не уверен. Но в любом случае доказывать нет желания -- передаю "как есть" (выбросьте, если не пригодится :)

[amarsianin]

grizzly в сообщении #1040208 писал(а):

которая для меня по-прежнему не выглядит естественно

Показать, что частичные суммы экспоненциального ряда строго возрастают от аргумента при достаточно большом числе суммандов. Для меня это достаточно "естественная" задача. Ваши критерии "естественности", увы, не знаю.

Не понял Вашу попытку решения, если честно.