Игра типа в города

[geomath]

Предлагаю такую игру. Я фиксирую некоторое число, и вы тоже, а затем мы поочередно (или нет) приводим доводы в защиту своих чисел. Чей пост будет последний, тот и выиграл.

Смысл игры в следующем. Я задумал показать, что вблизи числа 0.68 имеется некоторая мировая константа (не знаю, какая, но вроде золотой пропорции), которую я и собираюсь защищать, приводя различные выражения, факты и т.д. со значениями примерно 0.68 - т.е. как бы приближась к искомой константе. А вы, мои противники, думаете с легкостью меня опровергнуть, просто взяв "с потолка" достаточно произвольное число, конечно не пи, не е и т.п. Для определенности возьмите 0.86.

Правила игры нестрогие, но желательно не прибегать к дешевым приемам.

Для начала я говорю, что $1 - 1/\pi = 0.68...$.
Вы, скажем, отвечаете, что $e/\pi \sim 0.86$.
Тогда я говорю, что $\sqrt{(e - 1)/(e + 1)} \approx 0.68$.
Теперь ваш ход.

[AlexDem]

Я бы взял 0, на крайний случай - 1

[e2e4]

Интересная идея доказательства. Достойный конкурент доказательству голосованием .

[AD]

geomath, зачем вам приближенные равенства, когда есть куча замечательных точных равенств?

[маткиб]

6/7~0.86, 6 - число дьявола, 7 - число бога

[geomath]

AD писал(а):

geomath, зачем вам приближенные равенства, когда есть куча замечательных точных равенств?

Во-первых, саму константу я в точности не знаю, догадываюсь только о первых двух значащих ее цифрах. Во-вторых, давайте сюда по-одному свою "кучу замечательных точных равенств"! Почему в случае золотой пропорции фи, например, я могу написать, что

$\varphi = \frac{\sqrt{5}-1}{2} = 0.618...$?

Да только потому, что я эту константу знаю, либо по определению. А в нашем случае я ее не знаю, а для определения еще нужно доказать, что она заслуживает звания константы.

Вот шедевр в тему.

$\frac{\pi e \varphi - 1}{\pi e \varphi + 1} = 0.681...$.

Получается, что золотая пропорция сильнее всех? Смотрите: пи, е и фи входят в формулу симметрично, а у пи и е только и хватило сил, что переставить 1 и 8.

[AD]

geomath писал(а):

Во-первых, саму константу я в точности не знаю, догадываюсь только о первых двух значащих ее цифрах.

Ну дык так никогда и не узнаете, если будете довольствоваться приближенными равенствами. Или она вообще из области физики у вас? Тогда ладно, сдаюсь

geomath писал(а):

Во-вторых, давайте сюда по-одному свою "кучу замечательных точных равенств"!

Ну, для начала,
$e^{i\pi}=-1$.
Потом,
$\sum\limits_{n=1}^\infty1/n^2=\pi^2/6$,
$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!}=1/e$,
$\sum\limits_{n=1}^\infty1/(2n-1)^2=\pi^2/8$,
$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}n=\ln2$ (кстати, если хотите, это примерно 0,693),
$\sum\limits_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1}=\frac{\pi}{e^\pi-e^{-\pi}}$,
$\frac{2}{1}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{6}{5}\cdot\ldots=\pi/2$, ...
А вот еще
$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)!!}+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{1+\cdots}}}}}=\sqrt{\frac{\pi e}2}$

Добавлено спустя 13 минут 16 секунд:

geomath писал(а):

Вот шедевр в тему.

$\frac{\pi e \varphi - 1}{\pi e \varphi + 1} = 0.681...$

Получается, что золотая пропорция сильнее всех? Смотрите: пи, е и фи входят в формулу симметрично, а у пи и е только и хватило сил, что переставить 1 и 8.

Ха-ха. То есть на самом деле это похоже на фи только до первого знака. (у нас тут новый анекдот про оптимиста и пессимиста назревает ...)
Ну ладно, если вы так балдеете, вот вам: $\sqrt[4]{(e\pi)^{e+\pi}}\approx23{,}14\approx e^\pi$ до четвертого знака.
(в какой-то детско-египтологическо-фантастической книжке герой-профессор доказывал этим "найденным им удивительным соотношением" свою гениальность. Книжку уже не помню, а пример запомнился).

[geomath]

Не знаю даже, какая из ваших формул самая красивая!

AD писал(а):

Ха-ха. То есть на самом деле это похоже на фи только до первого знака... Ну ладно, если вы так балдеете, вот вам: $\sqrt[4]{(e\pi)^{e+\pi}}\approx23{,}14\approx e^\pi$ до четвертого знака.
(в какой-то детско-египтологическо-фантастической книжке герой-профессор доказывал этим "найденным им удивительным соотношением" свою гениальность. Книжку уже не помню, а пример запомнился).

Да, это похоже на какое-то усреднение. Правда, когда я писал про "дешевые приемы", то как раз имел в виду усреднение - арифметическое, геометрическое и прочее: взяли два выражения с близкими значениями и взяли их среднее, получили третье выражение с близким значением.

Вот тоже на усреднение похоже.

$(\Phi + \Phi)/(\Phi + \pi) \approx 0.68$

Здесь $\Phi = 1/\varphi = 1.618...$.

[AD]

geomath писал(а):

Не знаю даже, какая из ваших формул самая красивая!

Последняя, послееедняя, где цепная дробь только она не моя, а Рамануджана, ладно?

[geomath]

AD писал(а):

geomath писал(а):

Не знаю даже, какая из ваших формул самая красивая!

Последняя, послееедняя, где цепная дробь только она не моя, а Рамануджана, ладно?

Если бы формулы были Ваши, то я бы написал "ваших" с большой буквы.

AD писал(а):

То есть на самом деле это похоже на фи...

Константа фи является корнем уравнения
$x^2 + x - 1 = 0$.
Если считать, что искомая константа является корнем похожего уравнения
$x^3 + x - 1 = 0$,
то она действительно похожа на фи. И тогда она есть
$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} = 0.68232780$.

[AD]

geomath писал(а):

AD писал(а):

geomath писал(а):

Не знаю даже, какая из ваших формул самая красивая!

Последняя, послееедняя, где цепная дробь только она не моя, а Рамануджана, ладно?

Если бы формулы были Ваши, то я бы написал "ваших" с большой буквы.

То есть Вы обращались ко всем авторам формул?

geomath писал(а):

И тогда она есть
$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} = 0.68232780$

Через сколько таких формул вы сможете точно сказать, чему равна эта ваша константа? До первого трансфинита третьего класса ждать придется --- или раньше убедитесь? Всё пытаюсь понять нумерологическую вообще и Вашу в частности жизненную позицию.

[geomath]

AD писал(а):

Через сколько таких формул вы сможете точно сказать, чему равна эта ваша константа? Всё пытаюсь понять нумерологическую вообще и Вашу в частности жизненную позицию.

"В частности", моя позиция называется не нумерологией, а геоматематикой. Через сколько формул скажу? Так ведь это игра! Опять же если я выпишу точную формулу, то придется обосновывать, что это действительно математическая константа. Мало ли на свете точных формул! К тому же я ее не знаю... Вы ведь не можете или не хотите ее выписать. А возможно, ее там вообще нет. Как же я тогда выпишу точную формулу?! И потом, была на форуме тема про аксиму выбора, но не Цермело. Так вот я пробую строить геоматематику без этой аксиомы! Если же никому это не интересно, то мне придется играть с самим собой.

Вот еще один дешевый прием. Обозначая $x = 1 - 1/\pi$ и выбирая выражение для $\pi$, приближенное или точное, каких полно, получим соответствующее выражение для $x$. Например,
$\frac{1}{\pi} \approx 2 - \sqrt{2\sqrt{2}} = 0.318...$
(с тремя верными знаками), откуда
$x \approx \sqrt{2\sqrt{2}} - 1 = 0.68...}$.
А вот пример получше.
$\sqrt{\frac{\sqrt{\psi}+\sqrt{1-\psi}-1}{\sqrt{\psi}-\sqrt{1-\psi}+1}} = 0.68240$
Здесь $\psi = \sqrt{2} - 1$ - серебряная пропорция.

[AD]

geomath писал(а):

Опять же если я выпишу точную формулу, то придется обосновывать, что это действительно математическая константа.

О! Всё. Я понял. Если формула не точная, то и обосновывать ее не надо!! Вот в чем смысл-то!

[geomath]

AD писал(а):

Или она вообще из области физики у вас?

А какая, по-вашему, разница между константами математическими и физическими? Думаете, все дело в точности? Я думаю, что нет. А пока думаете вы, вот еще пара формул.

$\psi\sqrt{e}=0.68...$
$\sqrt{\frac{e-1}{10}e}=0.68...$

Потом я объясню, что это такое "физически".

[AD]

geomath писал(а):

А какая, по-вашему, разница между константами математическими и физическими?

Про математические константы можно теоремы доказывать. Можно вот такие формулы писать, как я приводил. А про физические - нельзя. Про них вообще ничего нельзя сказать, кроме как доверительный интервал выписать. А если можно - то это уже математическая константа