кинематика катящейся катушки

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Подскажите по задаче,плз. Ищу скорость верхней точки $A $ катящейся катушки. Эту скорость можно найти относительно мгновенненого центра вращения $C$ по формуле: $ v_A = \omega_0 \cdot 2R$ , где: $ R$ - радиус катушки. Но ускорение т.$A$ нельзя определить по формуле нормального ускорения: $a_N = \omega_0 ^2 \cdot 2R $, так как неизвестен радиус кривизны траектории точки. По учебнику Балаша он равен не $2R$, как это может показаться, a $4R$. Пока не понимаю, в чем разница радиусов кривизны для линейных скорости и ускорения. Приходит на ум найти радиус кривизны лемнискаты в верхней точке, но сомневаюсь. Направьте на правильный путь, плз.

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Для любой пары точек $A,O$ твердого тела верна формула $\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_O+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{OA}]+[\boldsymbol\omega,[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{OA}]]$. Где $\omega,\varepsilon$ угловая скорость и угловое ускорение соответственно.
В случае плоскопараллельного движения, эту формулу можно переписать еще так $\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_O+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{OA}]-|\boldsymbol\omega|^2\boldsymbol{OA}$

[мат-ламер]

Stensen в сообщении #1039739 писал(а):

Подскажите по задаче,плз.

А можно привести условие задачи: что дано, что требуется найти?

-- Чт июл 23, 2015 13:10:33 --

Stensen в сообщении #1039739 писал(а):

Ищу скорость верхней точки $A $ катящейся катушки.

Почему-то дальнейшие разговоры идут про ускорение. Не зависимо от того какие условия, движение конкретной точки можно записать в праметрическом виде, где параметр время, и продифференцировать.

-- Чт июл 23, 2015 13:30:59 --

По поводу ускорения верхней точки. Можно воспользоваться принципом относительности Галилея.

[Oleg Zubelevich]

мат-ламер в сообщении #1039747 писал(а):

По поводу ускорения верхней точки. Можно воспользоваться принципом относительности Галилея.

Принцип относительности является физическим постулатом. Вы разницу между физическим постулатом и геометрической теоремой понимаете?

[мат-ламер]

Oleg Zubelevich в сообщении #1039785 писал(а):

Принцип относительности является физическим постулатом. Вы разницу между физическим постулатом и геометрической теоремой понимаете?

Вообще-то понимаю. Но, конкретно для данной задачи не очень. Т.е. можно доказать как теорему, что ускорения точек твёрдого тела не изменяются, если тело будет ещё участвовать в равномерном прямолинейном движении.

[Stensen]

мат-ламер в сообщении #1039747 писал(а):

Почему-то дальнейшие разговоры идут про ускорение. А можно привести условие задачи: что дано, что требуется найти?

Даны радиусы катушки $OA=R, OB=r$, скорость т.$B$ =$u_B$. Найти нужно скорость и ускорение т.$A$

Oleg Zubelevich в сообщении #1039742 писал(а):

Теорема. Для любой пары точек $A,O$ твердого тела верна формула $\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_O+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{OA}]+[\boldsymbol\omega,[\boldsymbol\omega,\boldsymbol{OA}]]$. Где $\omega,\varepsilon$ угловая скорость и угловое ускорение соответственно.
В случае плоскопараллельного движения, эту формулу можно переписать еще так $\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_O+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{OA}]-|\boldsymbol\omega|^2\boldsymbol{OA}$

Поясните плз эту формулу. Если я правильно понимаю: $\boldsymbol a_O$ - это переносное ускорение центра вращения, $\omega,\varepsilon$ угловая скорость и угловое ускорение т.$A$ относительно центра вращения $O$. Если я прав, тогда можно ли и как для мгновенного центра вращения $C$ найти $a_O, \varepsilon$ ? Переносное ускорение в данном случае должно быть $a_C=0$, т.к. центр катушки движется равномерно, но ведь ускорение т.$C$ катушки не равно нулю.

[Oleg Zubelevich]

Stensen в сообщении #1039853 писал(а):

$\boldsymbol a_O$ - это переносное ускорение центра вращения,

это ускорение точки $O$ -- центра катушки;

Stensen в сообщении #1039853 писал(а):

$\omega,\varepsilon$ угловая скорость и угловое ускорение т.$A$ относительно центра вращения $O$

таких объектов вообще не бывает. $\boldsymbol\omega,\boldsymbol\varepsilon$ это угловая скорость и угловое ускорение катушки

[Stensen]

Stensen в сообщении #1039739 писал(а):

Доброго всем времени суток. Подскажите по задаче,плз. Ищу скорость верхней точки $A $... Приходит на ум найти радиус кривизны лемнискаты в верхней точке, но сомневаюсь.

Ошибся, не лемниската, а циклоида.

[мат-ламер]

Oleg Zubelevich в сообщении #1039855 писал(а):

Stensen в сообщении #1039853 писал(а):

$\boldsymbol a_O$ - это переносное ускорение центра вращения,

это ускорение точки $O$ -- центра катушки;

А что, центр катушки движется с ускорением?

[Oleg Zubelevich]

ну подставить в формулу известные значения Вы наверно и сами сможете?

[Stensen]

мат-ламер в сообщении #1040064 писал(а):

А что, центр катушки движется с ускорением?

Центр катушки движется без ускорения. Вопрос в другом, можно ли за центр вращения взять мгновенный центр (на чертеже это т.С) и относительно него применять формулу, показанную Oleg Zubelevich? В этом случае мгновенный центр вращения будет двигаться с ускорением. Я тут порешал для циклоиды и нашел радиус кривизны траектории в верхней т. $A$, тогда вроде все получается, т.к. $R=4r$, где: $R, r$- радиус кривизны циклоиды и колеса соответственно. Если найти каким-либо образом линейную скорость т.$A$, а это: $u_A= u_B \cdot\frac{2R}{R-r} $, тогда нормальное ускорение в т.$A$: $a_A = \frac{u_A^2}{R}= \frac{u_A^2}{4r} = \frac{Ru_B^2}{(R-r)^2}$. Такой же ответ получится если ускорение т.$A$ найти так: $a_A = \omega_0 ^2 \cdot r$, где: $ \omega_0 $ - угловая скорость катушки вокруг ее центра. Эти ответы правильные из учебника. У меня пока не укладывается в голове, почему скорость т.$A$ можно найти относительно мгновенного центра $C$, как: $v_A= \omega_C\cdot 2r$, а ускорение той же т.$A$ относительно того же центра $C$ по формуле: $a_A = \omega_C ^2 \cdot 2r$ нельзя.

[Oleg Zubelevich]

Stensen в сообщении #1040119 писал(а):

Вопрос в другом, можно ли за центр вращения взять мгновенный центр (на чертеже это т.С) и относительно него применять формулу

вот странно как-то. вроде написано черным по белому:

Oleg Zubelevich в сообщении #1039742 писал(а):

Для любой пары точек $A,O$ твердого тела верна формула

Вы понимаете, что такое "Для любой пары точек"? И не надо эти лишние слова произносить, мгновенный центр вращения, переносная чего-то там. Вы ттолько себя этим путаете.

Stensen в сообщении #1040119 писал(а):

ле: $a_A = \omega_C ^2 \cdot 2r$

Судя по этим Вашим $\omega_C$, дело безнадежно, и переучивать Вас в вузе будут долго. Обычный риск при самообразовании: попался плохой учебник -- и все, от нуля по шкале знаний, Вы начинаете продвигаться в минус, а не в плюс.

[Stensen]

Oleg Zubelevich в сообщении #1040121 писал(а):

Судя по этим Вашим $\omega_C$, дело безнадежно, и переучивать Вас в вузе будут долго.

Так собственно поэтому начал переучиваться заранее. Я понимаю, что продифференцировав $ \vec{v} = \vec{v_0} + \vec{v_r} $, где: $v, v_0, v_r $ - соответственно полная скорость, поступательная скорость центра и скорость вращения относительно центра, при $v_0 = \operatorname{const} $ получим $ \vec{a}= \frac{\vec{dv}_r}{dt} = -\omega_0 ^2 \vec{R }$, где $\vec{R }$- вектор от точки до центра вращения, тогда ускорение $a\vec{}$ от $\vec{v}_0 $ не зависит и направлено к центру вращения (хотя в школе это объясняют крайне не внятно т.к. не проходят пределы). Поясните плз как будет выглядеть уравнение $\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_O+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{OA}]-|\boldsymbol\omega|^2\boldsymbol{OA}$ для случая, когда т.$O$ - это мгновенный центр вращения (т.$C$ на чертеже)?

[Oleg Zubelevich]

Stensen в сообщении #1040183 писал(а):

Поясните плз как будет выглядеть уравнение $\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_O+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{OA}]-|\boldsymbol\omega|^2\boldsymbol{OA}$ для случая, когда т.$O$ - это мгновенный центр вращения (т.$C$ на чертеже)?

подставляем вместо точки $O$ точку $C$: $\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_C+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{CA}]-|\boldsymbol\omega|^2\boldsymbol{CA}$

[Stensen]

Oleg Zubelevich в сообщении #1040189 писал(а):

подставляем вместо точки $O$ точку $C$: $\boldsymbol a_A=\boldsymbol a_C+[\boldsymbol\varepsilon,\boldsymbol{CA}]-|\boldsymbol\omega|^2\boldsymbol{CA}$

Если правильно понимаю, т.к. катушка катится с постоянной скоростью то угловое ускорение точек катушки: $\boldsymbol\varepsilon=0, и ранее нашли $\omega_0 = \frac{u_B}{R-r}$. Ну вот последний вопрос,пожалуйста, как найти $a_C$?