Функциональный ряд

[rabbit-a]

Уважаемые математики подскажите пожалуйста верно ли я определяю, что следующий функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n^x+1}$ нельзя почленно дифференцировать на $[1;+\infty] $-- область равномерной сходимости исходного ряда (ее-то я надеюсь правильно нашел? ) потому что на левом конце этого промежутка нет равномерной сходимости ряда составленного из производных, т.е. ряда $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-n^x\cdot \ln\ x}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(n^x+1)^2}$?? Если это так, то нужно ведь строго доказывать что дифференцировать нельзя?

[Otta]

rabbit-a в сообщении #1039761 писал(а):

область равномерной сходимости исходного ряда (ее-то я надеюсь правильно нашел? )

Если имелось в виду то, что должно было иметься - область поточечной сходимости - то неправильно. Дальше пока не комментирую, но тоже печально.

[rabbit-a]

Да имелась ввиду область поточечной сходимости. на $(1;+\infty) n^x>n; n^x+1>n+1; \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(n^x+1)}<\frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}\cdot\frac{1}{n+1}$ пользуясь предельныv признаком сравнения: ряд сравнения
$\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ который сходится, значит и этот ряд сходится, отсюда по признаку Вейерштрасса исходный ряд сходится на $(1;+\infty)$ равномерно. Проверил, что в точке $x=1$ числовой ряд также сходится, отсюда $[1;+\infty)$ - область равнмерной сходимости. Что неверно?

[ewert]

rabbit-a в сообщении #1039773 писал(а):

Что неверно?

Область неверна, и продифференцировано неверно. Пока что этого достаточно.

[rabbit-a]

Я конечно, прошу прощения, то что пример решен неверно я готов признать, равно как и свою полною тупость и отсутствие элементарных знаний. Однако, кроме опечатки вместо $\ln x$ нужно $\ln n$
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{-n^x\cdot \ln\ n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(n^x+1)^2}$ я не вижу никаких ошибок при дифференцировании - готов учиться дифференцировать заново. Также высказывание "область неверна" кроме факта что где-то есть ошибка мне, к сожалению ничего не дает? Что именно неверно ? Применение какого признака? алгебраические преобразования? нахождение предела? признак Вейерштраса неверен? или я его не так понимаю? исследование на сходимость числового ряда при x=1?

[grizzly]

rabbit-a в сообщении #1039773 писал(а):

Что неверно?

А что, в точке $x=2/3$ числовой ряд расходится?

[rabbit-a]

А ясно, значит область шире, чем я предполагал. Да, согласен при $x=1/2$ получаем расходящийся числовой ряд. Значит область сходимости $(\frac{1}{2};+\infty)$. Так, хорошо. Но дифференцировать все равно почленно нельзя, потому что нет равномерной сходимости у ряда из производных, так? или мне просто не удается ее доказать? может там нужно каким-нибудь более тонким признаком воспользоваться?

[ewert]

rabbit-a в сообщении #1039801 писал(а):

Но дифференцировать все равно почленно нельзя, потому что нет равномерной сходимости у ряда из производных, так?

Для возможности почленного дифференцирования в какой-то точке нужна равномерная сходимость -- где?...

[rabbit-a]

Если мне не изменяет память нужна равномерная сходимость ряда состоящего из непрерывных производных на отрезке [a;b] . Все производные непрерывные, но область равномерной сходимости уже (и ряд там не положительный) и не замкнутая наверно, здесь я затрудняюсь: при $x\in [2;+\infty)$ мне кажется будет сходимость у ряда из производных, может опять область будет пошире -там логариф в числителе-не могу пока сообразить какая именно, но все равно на $(1/2;+\infty)$ не будет сходимости у ряда из производных, поэтому нельзя почленно дифференцировать на этом промежутке, верно?!

[ewert]

rabbit-a в сообщении #1039830 писал(а):

не будет сходимости у ряда из производных, поэтому нельзя почленно дифференцировать на этом промежутке, верно?!

Неверно ни первое утверждение, ни второе.

[Lia]

rabbit-a оформляйте все формулы.

[rabbit-a]

Lia
Скажите пожалуйста у меня какие-то формулы неверно набраны? Не могу понять какие именно, вроде все читается?

[ewert]

rabbit-a в сообщении #1039836 писал(а):

Не могу понять какие именно, вроде все читается?

rabbit-a в сообщении #1039830 писал(а):

на отрезке [a;b]

Прочитать, конечно, можно, но с некоторым напряжением. Отсюда и требование.

[rabbit-a]

Ясно, не знал что это обязательно, хорошо, над ошибками пока думаю. Верно ли я понял, что вы утверждаете, что на $(1/2;+\infty)$ ряд из производных сходится равномерно?

[ewert]

rabbit-a в сообщении #1039844 писал(а):

Верно ли я понял, что вы утверждаете, что на $(1/2;+\infty)$ ряд из производных сходится равномерно?

Неверно понимаете. Я намекаю на то, что это -- слишком сильное требование.