fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 18:00 


10/09/14
292
Здравствуйте.Есть пара задач, до решения которых никак не могу додуматься.
1). В урне $m$ белых и $n$ чёрных шаров, по схеме случайного выбора с возвращением извлекают шары, до первого появления белого шара. Найти мат. ожидание и дисперсию числа вынутых шаров $M\xi, D\xi$
Пытался решить двумя способами:
1-ый: Очевидно в нашей схеме распределения числа шаров подчиняется геометрическому $P(\xi=k)=pq^Хk-1}$, где $p=\frac{m}{m+n}$, $q=\frac{n}{m+n}$. Математическое ожидание можно найти как сумму ряда $$M\xi=\sum_{k=1}^{\infty}k(\frac{n}{m+n})^{k-1}\frac{m}{m+n}$$. По признаку Даламбера ряд вроде бы сходится, но найти его сумму не знаю как, там по сути получается почленное произведение арифметической и геометрической прогрессии, может есть какая-то формула для этого?
2-ый: Пытался представить событие $\xi$ как сумму индикаторов $1+\chi_1+\chi_2+..+\chi_k$, где он равен $1$ если шар чёрный. И пользуясь аддитивностью мат.ожидания $$M\xi=1+M\sum_{k=1}^{\infty}\chi_k=1+\sum_{k=1}^{\infty}M\chi_k=1+\sum_{k=1}^{\infty} (\frac {n}{m+n})_k$$ А этот ряд уже расходящийся...
2). Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одну и туже функцию распределения $F(x)$, найти распределение случайной величины $\psi=P(\xi=\eta)$, на счёт этой задачи вообще нет никаких соображений...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 18:35 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Viktor92
Сумму ряда $\sum_{k=1}^\infty k q^{k-1}$ умеете искать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 18:59 


10/09/14
292
Otta нет не знаю, может заменить несобственным интегралом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 19:12 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
А сумму ряда $\sum_{k=1}^\infty q^{k}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 19:25 


10/09/14
292
Как сумма убывающей геометрической прогрессии $\frac{q}{1-q}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 19:27 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
А один из другого как получить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 19:41 


10/09/14
292
В голову приходит только так: $\sum_{k=1}^{\infty}kq^k=\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=l}^{\infty}q^k$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 19:46 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Дифференцированию степенных рядов Вас не учили, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 19:53 


07/04/15
244
Дифференцировать ряды это целое занятие. Хотя видимо для дисперсии без них не обойтись. А для м.о. можно

Пусть $E_k$ м.о. сколько доставаний нужно еще сделать до результата, если $k$ белых шаров подряд уже достали. В нашей задаче $E_1=0$, $E_0$ нужно найти. $E_k=p(1+E_{k+1})+q(1+E_0)$. Отсюда $E_0=1+pE_1+qE_0$ и $E_0=\frac{1}{p}=\frac{m+n}{m}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 20:00 


10/09/14
292
Точно, просто здесь меня ввело в заблуждение , что у нас числовой ряд, а не функциональный. Тогда $\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}=\sum_{k=1}^{\infty}(q^k)'=(\frac{1}{1-q})'=\frac{1}{(1-q)^2}$

-- 22.07.2015, 20:17 --

2old не очень понял Вашу идею, я так никогда не оперировал с м.о.
2old в сообщении #1039577 писал(а):
$E_k=p(1+E_{k+1})+q(1+E_0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по задачам из теории вероятностей
Сообщение22.07.2015, 22:56 


07/04/15
244
Viktor92
Ну вот вы вытащили шар, либо он белый и вы добавили в серию, либо черный, тогда серия обнулилась. Соотвественно исходы взвешены по соответствующим вероятностям.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group