Вопросы по задачам из теории вероятностей

[Viktor92]

Здравствуйте.Есть пара задач, до решения которых никак не могу додуматься.
1). В урне $m$ белых и $n$ чёрных шаров, по схеме случайного выбора с возвращением извлекают шары, до первого появления белого шара. Найти мат. ожидание и дисперсию числа вынутых шаров $M\xi, D\xi$
Пытался решить двумя способами:
1-ый: Очевидно в нашей схеме распределения числа шаров подчиняется геометрическому $P(\xi=k)=pq^Хk-1}$, где $p=\frac{m}{m+n}$, $q=\frac{n}{m+n}$. Математическое ожидание можно найти как сумму ряда

$$M\xi=\sum_{k=1}^{\infty}k(\frac{n}{m+n})^{k-1}\frac{m}{m+n}$$

. По признаку Даламбера ряд вроде бы сходится, но найти его сумму не знаю как, там по сути получается почленное произведение арифметической и геометрической прогрессии, может есть какая-то формула для этого?
2-ый: Пытался представить событие $\xi$ как сумму индикаторов $1+\chi_1+\chi_2+..+\chi_k$, где он равен $1$ если шар чёрный. И пользуясь аддитивностью мат.ожидания

$$M\xi=1+M\sum_{k=1}^{\infty}\chi_k=1+\sum_{k=1}^{\infty}M\chi_k=1+\sum_{k=1}^{\infty} (\frac {n}{m+n})_k$$

А этот ряд уже расходящийся...
2). Случайные величины $\xi$ и $\eta$ независимы и имеют одну и туже функцию распределения $F(x)$, найти распределение случайной величины $\psi=P(\xi=\eta)$, на счёт этой задачи вообще нет никаких соображений...

[Otta]

Viktor92
Сумму ряда $\sum_{k=1}^\infty k q^{k-1}$ умеете искать?

[Viktor92]

Otta нет не знаю, может заменить несобственным интегралом...

[Otta]

А сумму ряда $\sum_{k=1}^\infty q^{k}$?

[Viktor92]

Как сумма убывающей геометрической прогрессии $\frac{q}{1-q}$

[Otta]

А один из другого как получить?

[Viktor92]

В голову приходит только так: $\sum_{k=1}^{\infty}kq^k=\sum_{l=1}^{\infty}\sum_{k=l}^{\infty}q^k$

[Otta]

Дифференцированию степенных рядов Вас не учили, не?

[2old]

Дифференцировать ряды это целое занятие. Хотя видимо для дисперсии без них не обойтись. А для м.о. можно

Пусть $E_k$ м.о. сколько доставаний нужно еще сделать до результата, если $k$ белых шаров подряд уже достали. В нашей задаче $E_1=0$, $E_0$ нужно найти. $E_k=p(1+E_{k+1})+q(1+E_0)$. Отсюда $E_0=1+pE_1+qE_0$ и $E_0=\frac{1}{p}=\frac{m+n}{m}$

[Viktor92]

Точно, просто здесь меня ввело в заблуждение , что у нас числовой ряд, а не функциональный. Тогда $\sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}=\sum_{k=1}^{\infty}(q^k)'=(\frac{1}{1-q})'=\frac{1}{(1-q)^2}$

-- 22.07.2015, 20:17 --

2old не очень понял Вашу идею, я так никогда не оперировал с м.о.

2old в сообщении #1039577 писал(а):

$E_k=p(1+E_{k+1})+q(1+E_0)$.

[2old]

Viktor92
Ну вот вы вытащили шар, либо он белый и вы добавили в серию, либо черный, тогда серия обнулилась. Соотвественно исходы взвешены по соответствующим вероятностям.