Вращающийся конденсатор.

[dovlato]

Плоский конденсатор имеет массу $m$. Его зарядили; энергия его электрического поля стала равной $W_E$.
Во сколько раз после этого изменится его момент инерции относительно оси, перпендикулярной обкладкам,
проходящей через центр масс?

[DimaM]

Из соображений размерности я бы написал $1+\dfrac{W_E}{mc^2}$ .

[dovlato]

У меня при 2-м слагаемом получился коэффициент 1/2, но я не перепроверял.

[zer0]

Странно, откуда может взяться 1/2

[mihiv]

При вращении конденсатора заряды на пластинах создают противоположно направленные токи. Между обкладками конденсатора появляется магнитное поле. Магнитным полем вне конденсатора пренебрегаем. В цилиндрической системе координат отличны от 0 компоненты $H_{\rho }$ и $H_z}$.
Найдем момент импульса электромагнитного поля:

$$\bold M=\dfrac 1{4\pi c}\int _V{[\bold r[\bold E\bold H]]dV\approx \dfrac {W_E}{c^2}R^2\omega \bold {\bold n_z}$$

где $R$-радиус пластины конденсатора. Отсюда момент инерции электромагнитного поля: $J_{em}=\dfrac {W_E}{c^2}R^2$. Так как момент инерции незаряженного конденсатора равен $J=\dfrac {mR^2}2$, то момент инерции конденсатора изменился в $1+\dfrac {2W_E}{mc^2}$ раз.

[dovlato]

Да, у меня тоже получилась двойка (а не одна вторая).
Пусть плоский конд-р постоянной толщины имеет более-менее произвольную форму. Начало координат помещаем в центр масс.
Постоянная поверхностная плотность заряда везде равна $\sigma$. Объём $V$. Расстояние между обкладками $d$; угл. скорость вращения $\omega$.
Тогда энергия эл. поля $W_E=V\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$. Индукция магнитного поля $B=\mu_0\omega r\sigma$; $r$ - радиус-вектор.
Энергия магнитного поля $W_B=\frac{d}{2\mu_0}\int{(\mu_0\omega r\sigma)^2}ds $.
Отсюда $\frac{W_B}{W_E}=\frac{\omega^2}{c^2}\frac{I}m$. Здесь $I$ - момент инерции незаряженного конд-ра.
Сумма кинетической энергии и энергии магнитного поля $W=I\left(1+\frac{2W_E}{mc^2}\right)\frac{\omega^2}2$.
То есть момент инерции вырос в $1+\frac{2W_E}{mc^2}$ раз.

[levtsn]

Но момент инерции исходного конденсатора неизвестен, и почему вообще добавляется момент инерции причём не зависящий от свойств конденсатора?

[DimaM]

levtsn в сообщении #1039566 писал(а):

Но момент инерции исходного конденсатора неизвестен

Разумное замечание. Думаю, чтобы снять неоднозначность, предполагаются однородные по плотности пластины и ось, проходящая через центр масс.

levtsn в сообщении #1039566 писал(а):

и почему вообще добавляется момент инерции причём не зависящий от свойств конденсатора?

Выше написано.

[dovlato]

Да, пластины подразумеваются однородными. Достаточно гладкими, чтобы оставались в силе ф-лы для плоского конд-ра, но произвольной формы.
Вроде бы тогда всё сходится. Можно было бы добавить ещё однородный диэлектрик.

[lucien]

To dovlato.
В этой задаче вначале стоило бы оговорить определение момента инерции. Вы пользовались определением через энергию, mihiv - через момент импульса. Оба определения не согласуются друг с другом, что говорит о неудовлетворительности этого термина для не механических систем.

То, что ваше ответ совпало с ответом mihiv есть лишь результат неточных вычислений. Во-первых, использованное вами выражение для магнитного поля

$$ \vec{B}=-\mu_0\omega\sigma\vec{r} $$

не удовлетворяет уравнению $div\vec{B}=0$. А если ввести необходимую поправку

$$ \vec{B}=\mu_0\omega\sigma(2z\vec{e}_z-\vec{r}) $$

то заметим несовпадение результатов вычислений через энергию и момент импульса (который при этом не поменяется). Во-вторых, энергия магнитного поля $W_m\sim W_e(v/c)^2$, т.е. второго порядка по $v/c$ и для корректного вычисления нужно учитывать поправки того же порядка к электрическому полю (учесть изменение плотности заряда вращающегося диска).

[Skeptic]

mihiv в сообщении #1039268 писал(а):

При вращении конденсатора заряды на пластинах создают противоположно направленные токи.

Если при заряде конденсатора, увеличивается его момент инерции, значит заряды обладают массой, и эту массу можно подсчитать.
Интересно какую массу имеет единица заряда и её размерность?
Может момент инерции увеличивается за счёт массы магнитного поля?

[Pphantom]

Skeptic в сообщении #1081369 писал(а):

Если при заряде конденсатора, увеличивается его момент инерции, значит заряды обладают массой, и эту массу можно подсчитать.
Интересно какую массу имеет единица заряда и её размерность?

На шутку это не тянет, поэтому: Skeptic - замечание за невежество.