2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вращающийся конденсатор.
Сообщение15.07.2015, 17:37 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Плоский конденсатор имеет массу $m$. Его зарядили; энергия его электрического поля стала равной $W_E$.
Во сколько раз после этого изменится его момент инерции относительно оси, перпендикулярной обкладкам,
проходящей через центр масс?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение16.07.2015, 11:52 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Из соображений размерности я бы написал $1+\dfrac{W_E}{mc^2}$ :-) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение17.07.2015, 16:49 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
У меня при 2-м слагаемом получился коэффициент 1/2, но я не перепроверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение19.07.2015, 21:57 


04/06/12
279
Странно, откуда может взяться 1/2

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение21.07.2015, 21:11 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
При вращении конденсатора заряды на пластинах создают противоположно направленные токи. Между обкладками конденсатора появляется магнитное поле. Магнитным полем вне конденсатора пренебрегаем. В цилиндрической системе координат отличны от 0 компоненты $H_{\rho }$ и $H_z}$.
Найдем момент импульса электромагнитного поля:$$\bold M=\dfrac 1{4\pi c}\int _V{[\bold r[\bold E\bold H]]dV\approx \dfrac {W_E}{c^2}R^2\omega \bold {\bold n_z}$$где $R$-радиус пластины конденсатора. Отсюда момент инерции электромагнитного поля: $J_{em}=\dfrac {W_E}{c^2}R^2$. Так как момент инерции незаряженного конденсатора равен $J=\dfrac {mR^2}2$, то момент инерции конденсатора изменился в $1+\dfrac {2W_E}{mc^2}$ раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение22.07.2015, 00:19 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да, у меня тоже получилась двойка (а не одна вторая).
Пусть плоский конд-р постоянной толщины имеет более-менее произвольную форму. Начало координат помещаем в центр масс.
Постоянная поверхностная плотность заряда везде равна $\sigma$. Объём $V$. Расстояние между обкладками $d$; угл. скорость вращения $\omega$.
Тогда энергия эл. поля $W_E=V\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$. Индукция магнитного поля $B=\mu_0\omega r\sigma$; $r$ - радиус-вектор.
Энергия магнитного поля $W_B=\frac{d}{2\mu_0}\int{(\mu_0\omega r\sigma)^2}ds  $.
Отсюда $\frac{W_B}{W_E}=\frac{\omega^2}{c^2}\frac{I}m$. Здесь $I$ - момент инерции незаряженного конд-ра.
Сумма кинетической энергии и энергии магнитного поля $W=I\left(1+\frac{2W_E}{mc^2}\right)\frac{\omega^2}2$.
То есть момент инерции вырос в $1+\frac{2W_E}{mc^2}$ раз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение22.07.2015, 19:43 
Аватара пользователя


08/08/14

991
Москва
Но момент инерции исходного конденсатора неизвестен, и почему вообще добавляется момент инерции причём не зависящий от свойств конденсатора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение23.07.2015, 07:03 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
levtsn в сообщении #1039566 писал(а):
Но момент инерции исходного конденсатора неизвестен

Разумное замечание. Думаю, чтобы снять неоднозначность, предполагаются однородные по плотности пластины и ось, проходящая через центр масс.

levtsn в сообщении #1039566 писал(а):
и почему вообще добавляется момент инерции причём не зависящий от свойств конденсатора?

Выше написано.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение23.07.2015, 08:23 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да, пластины подразумеваются однородными. Достаточно гладкими, чтобы оставались в силе ф-лы для плоского конд-ра, но произвольной формы.
Вроде бы тогда всё сходится. Можно было бы добавить ещё однородный диэлектрик.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение11.12.2015, 12:17 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
To dovlato.
В этой задаче вначале стоило бы оговорить определение момента инерции. Вы пользовались определением через энергию, mihiv - через момент импульса. Оба определения не согласуются друг с другом, что говорит о неудовлетворительности этого термина для не механических систем.

То, что ваше ответ совпало с ответом mihiv есть лишь результат неточных вычислений. Во-первых, использованное вами выражение для магнитного поля
$$
\vec{B}=-\mu_0\omega\sigma\vec{r}
$$
не удовлетворяет уравнению $div\vec{B}=0$. А если ввести необходимую поправку
$$
\vec{B}=\mu_0\omega\sigma(2z\vec{e}_z-\vec{r})
$$
то заметим несовпадение результатов вычислений через энергию и момент импульса (который при этом не поменяется). Во-вторых, энергия магнитного поля $W_m\sim W_e(v/c)^2$, т.е. второго порядка по $v/c$ и для корректного вычисления нужно учитывать поправки того же порядка к электрическому полю (учесть изменение плотности заряда вращающегося диска).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение11.12.2015, 14:42 


01/12/11

1047
mihiv в сообщении #1039268 писал(а):
При вращении конденсатора заряды на пластинах создают противоположно направленные токи.

Если при заряде конденсатора, увеличивается его момент инерции, значит заряды обладают массой, и эту массу можно подсчитать.
Интересно какую массу имеет единица заряда и её размерность?
Может момент инерции увеличивается за счёт массы магнитного поля?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вращающийся конденсатор.
Сообщение11.12.2015, 14:53 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 ! 
Skeptic в сообщении #1081369 писал(а):
Если при заряде конденсатора, увеличивается его момент инерции, значит заряды обладают массой, и эту массу можно подсчитать.
Интересно какую массу имеет единица заряда и её размерность?
На шутку это не тянет, поэтому: Skeptic - замечание за невежество.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group