Фиксируем

.
Обозначим

множество всех перестановок порядка

.
Рассмотрим отображение

, такое что

при фиксированном

является
инъективным.
Одно из наиболее знаменитых примеров таких отображений -- Move-to-Front (в русскоязычной литературе более известна под названием Book Stack) схема, используемая (в основном) для сжатия данных.
Приведем формальное описание этого отображения: пусть

,

и
![$i_0 : \alpha[i_0] = x$ $i_0 : \alpha[i_0] = x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/1/971bce560b30b1645f77fe65303ca47d82.png)
, тогда
\begin{gather}
f( \alpha, x )[ i ] \overset{\mathrm {def}}{=}
\begin{cases}
x &\mbox{если} \ i = 1, \\
\alpha[i] &\mbox{если} \ i > i_0, \\
\alpha[i - 1] &\mbox{если} \ 1 < i \leqslant i_0.
\end{cases}
\end{gather}
Смысл этого отображения очень простой. Будем считать, что у нас есть

книг, с названиями

, а также стопка

этих книг. Мы вытаскиваем из стопки книгу

и кладем ее наверх стопки.
Именно это формализовано в определении

, данном выше. Очевидно, что при фиксации первой компоненты этого отображения, мы получим инъекцию.
Мой вопрос заключается в том, существуют ли какие-то
другие "хорошие" (то есть не тривиальные, сильно отличающиеся от приведенного) примеры таких (то есть инъективных в смысле, указанном выше) отображений

?
Да, мы можем помещать книжку вниз стопки, но это достаточно тривиально. Что-то более интересное?
Более того, может быть возможно описать множество
всех таких инъективных отображений?