Примеры инъективных отображений, типа MTF (Book Stack).

[seryrzu]

Фиксируем $S \in \mathbb N$.
Обозначим $\mathfrak S_S$ множество всех перестановок порядка $S$.
Рассмотрим отображение $f : \mathfrak S_S \times \{1,2,\ldots,S\} \to \mathfrak S_S$, такое что $f(\alpha, \cdot) : \{1,2,\ldots,S\} \to \mathfrak S_S$ при фиксированном $\alpha \in \mathfrak S_S$ является инъективным.

Одно из наиболее знаменитых примеров таких отображений -- Move-to-Front (в русскоязычной литературе более известна под названием Book Stack) схема, используемая (в основном) для сжатия данных.
Приведем формальное описание этого отображения: пусть $\alpha \in \mathfrak S_S$, $x \in \{1,2,\ldots,S\}$ и $i_0 : \alpha[i_0] = x$, тогда
\begin{gather}
f( \alpha, x )[ i ] \overset{\mathrm {def}}{=}
\begin{cases}
x &\mbox{если} \ i = 1, \\
\alpha[i] &\mbox{если} \ i > i_0, \\
\alpha[i - 1] &\mbox{если} \ 1 < i \leqslant i_0.
\end{cases}
\end{gather}

Смысл этого отображения очень простой. Будем считать, что у нас есть $S$ книг, с названиями $1:S$, а также стопка $\alpha$ этих книг. Мы вытаскиваем из стопки книгу $x$ и кладем ее наверх стопки.
Именно это формализовано в определении $f$, данном выше. Очевидно, что при фиксации первой компоненты этого отображения, мы получим инъекцию.

Мой вопрос заключается в том, существуют ли какие-то другие "хорошие" (то есть не тривиальные, сильно отличающиеся от приведенного) примеры таких (то есть инъективных в смысле, указанном выше) отображений $f$?
Да, мы можем помещать книжку вниз стопки, но это достаточно тривиально. Что-то более интересное?

Более того, может быть возможно описать множество всех таких инъективных отображений?

[iifat]

seryrzu в сообщении #1038901 писал(а):

описать множество всех таких инъективных отображений?

А это, по-вашему

seryrzu в сообщении #1038901 писал(а):

отображение $f : \mathfrak S_S \times \{1,2,\ldots,S\} \to \mathfrak S_S$, такое что $f(\alpha, \cdot) : \{1,2,\ldots,S\} \to \mathfrak S_S$ при фиксированном $\alpha \in \mathfrak S_S$ является инъективным.

чем не описание?

seryrzu в сообщении #1038901 писал(а):

другие "хорошие"

Тут, знаете ли, такой простор для творчества, что наверняка найдутся.

[seryrzu]

Это, конечно, описание, но хочется более конструктивное описание. В этом и вопрос.

На самом деле я сейчас занимаюсь обобщением некоторой теории. И я в ней использую пока тот пример $f$, что дан в исходном посте.
Я хочу обобщить теорию с конкретного $f$ на случай таких инъективных отображений.
Поэтому мне нужно понять, есть ли интересные примеры таких отображений, чтобы было ясно -- имеет ли смысл это обобщение.