Классы эквивалентности и фактормножество

[RonHabard]

Посмотрите, пожалуйста, верно ли все в моих примерах?

**1)** Пусть задана пара действительных чисел $a,b∈ \mathbb{R}$и считается, что для них справедливо $a \sim b$, если $[a]=[b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на эквивалентные классы — интервалы вида $[a;a+1), \; a \in \mathbb{Z}$. То есть между ними существует каноническая сюръекция множества $\mathbb{R}$ на фактормножество $\mathbb{Z}$

$$a \mapsto \left[ \left[a;a+1\right) \right]_{\sim}.$$

**2)** Рассмотрим подмножество пар чисел $(p,q), q \ne 0$ множества $\mathbb{Z}^2$, для которых считается справедливым $(p,q)\sim(p' q' ),$ если $pq'-p' q=0$. Тогда семейство пар взаимно простых чисел $(p,q),q \in \mathbb{N}$ — суть классы эквивалентности множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$. То есть можно задать каноническую сюръекцию множества $\mathbb{Z}^2$ на фактормножество $\mathbb{Q}$

$$(p,q) \mapsto [(p,q)]_\sim, \quad q \in \mathbb{N}, \; p \perp q. $$

**3)** Пусть задано $X$ — множество всех точек плоскости и две такие точки $A,B∈X,$ являющиеся подмножеством отношения эквивалентности, если они равноудалены от начала координат $O$, то есть равны длины их отрезков $OA=OB$. Тогда окружности с центром $O$, включая окружность, вырожденную в точку, — суть классы эквивалентности множества всех точек плоскости $X$. То есть можно задать каноническую сюръекцию $X$ на фактормножество всех концентрических окружностей $\mathcal{O}$.

**4)** Пусть задана плоскость $\mathbb{R}^2$ и два направленных на ней отрезка $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{A'B'},$, для которых считается справедливым $\overrightarrow{AB} \sim \overrightarrow{A'B'},$ если они сонаправлены, параллельны и имеют одинаковую длину (то бишь равны). Тогда равные направленные отрезки, исходящие из начала координат $O$, включая все отрезки, начала и конец которых совпадают, — суть классы эквивалентности плоскости $\mathbb{R}^2$, каковые вернее определить как семейство векторов. То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество всех векторов, исходящих из начала координат.

[iancaple]

RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):

**2)** ...Тогда семейство пар взаимно простых чисел $(p,q),q \in \mathbb{N}$ — суть классы эквивалентности множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Неточность в описании. К какому из этих классов принадлежат пары $(0,1),(0,2)$, и к одному классу или разным?

[RonHabard]

iancaple, к одному классу эквивалентности -- $(0,a), \; a \in \mathbb{N}$

[iancaple]

Правильно, но этот класс не был указан. И устроен он по-другому
Задача 3.

RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):

То есть можно задать каноническую сюръекцию $X$ на фактормножество всех концентрических окружностей $\mathcal{O}$.

Множество $\mathcal{O}$ ранее не было определено никак. а в этой фразе определено неточно, лучше сказать "множество всех концентрических окружностей с центром в нуле, и точка 0" Это минимальная поправка. Иначе желаемая сюръекция не везде определена.

И, как минимум, Вам надо изменить описание фактормножества в задаче 2. Обычно фактормножество - это множество самих классов, а не отдельных элементов. Но можно вместо классов указать по одному представителю каждого класса. А в задаче 2 у Вас - не каждого, или не по одному.

[arseniiv]

RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):

**1)** Пусть задана пара действительных чисел $a,b\in \mathbb{R}$и считается, что для них справедливо $a \sim b$, если $[a]=[ b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на эквивалентные классы — интервалы вида $[a;a+1), \; a \in \mathbb{Z}$. То есть между ними существует каноническая сюръекция множества $\mathbb{R}$ на фактормножество $\mathbb{Z}$

$$a \mapsto \left[ \left[a;a+1\right) \right]_{\sim}.$$

$\mathbb Z$ не есть $\mathbb R/{\sim}$. Последнее есть $\{[a;a+1) : a\in\mathbb Z\}$. Конечно, они изоморфны, но и только.

RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):

Тогда семейство пар взаимно простых чисел $(p,q),q \in \mathbb{N}$ — суть классы эквивалентности множества рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Написано что-то совершенно непонятное. Класс эквивалентности, как уже упомянуто iancaple — это множество эквивалентных друг другу элементов, а у вас что, и откуда берётся $\mathbb Q$ — где его определение?

RonHabard в сообщении #1038351 писал(а):

То есть можно задать каноническую сюръекцию $\mathbb{R}^2$ на фактормножество всех векторов, исходящих из начала координат.

Опять же, вы выбрали сразу представителей классов, когда стоило бы отдельно описать фактормножество с канонической сюръекцией, и отдельно уже описать неканоническую несюръекцию из него в какое-то, в общем случае, наобум выбранное множество представителей.

Для справки, каноническая сюръекция — это именно что сюръекция, потому что у любого элемента $X/\sim$ есть как минимум один прообраз в $X$. Если $X/{\sim}$ подменить каким-то другим множеством, сюръективности может и не быть. В том числе, если подменить его подмножеством представителей из $X$, сюръективность будет тогда и только тогда, когда $\sim$ — это равенство. Т. е. в единственном для каждого $X$ случае.

-- Сб июл 18, 2015 22:30:56 --

Хотя мы можем, конечно, сюръективности добиться, выкинув из области значений элементы без прообразов, но это… гм…

[RonHabard]

arseniiv, во 2-ом номере классы эквивалентности можно отождествить с рациональными числами: в пределах одного класса имеет место равенство дробей $p/q = p'/q'$. Также и в 1-ом номере, мне показалось, что фактормножество здесь имеет вид может быть отождествлено с Z естественным образом.

Можете, пожалуйста, расписать один из примеров, например, самый легкий -- 3-ий, как надо, а остальные три, раз все здесь неверно, я постараюсь сделать самостоятельно. А то вчитываюсь в эти определения, делаю, как показывали, а выходит какая-то чушь.

[iancaple]

Можно понимать каждую задачу так(с "избытком"):
1.Правильно обозначить множество Х(в задаче 4 это не указано. в задаче 2 это указано, но далее обозначено неправильно)
2.Правильно описать фактор-множество(в задачах 2 и 3 ошибки)
3.Указать, с каким простым известным множеством это может быть естественно отождествлено, просто потому, что это интересно (в задаче 2 это как раз просто. И только в задаче 3 это пока не сделано)
4.Построить каноническую сюръекцию на фактор-множество из пункта 2.
5. Ну и на всякий случай записать сюръекцию на множество из пункта 3, потому что она всегда проще записывается
Ну вот пример 3.
1.$\mathbb R^2$
2.Множество$ \mathcal {O}$, элементами которого являются все концентрические окружности с центром в нуле, а также начало координат.
3. c $[0,\infty )$
4.$(a,b)\to S\in\mathcal {O}$,правило соответствия понятно какое
5.$(a,b)\to\sqrt{a^2+b^2}$

[arseniiv]

RonHabard в сообщении #1038377 писал(а):

во 2-ом номере классы эквивалентности можно отождествить с рациональными числами: в пределах одного класса имеет место равенство дробей $p/q = p'/q'$

Можно и, действительно, так и делают, определяя $\mathbb Q$ как $\mathbb Z\times\mathbb Z^+/{\sim}$. А в вашем тексте связь получилась неясна. И классы не описаны достаточно ясно тоже.

RonHabard в сообщении #1038377 писал(а):

Также и в 1-ом номере, мне показалось, что фактормножество здесь имеет вид может быть отождествлено с Z естественным образом.

Не сказать чтобы так. Мы могли бы отождествлять полуинтервалы со, скажем, их серединами. В любом случае, фактормножество определяется однозначно, для его построения не нужно пытаться найти что-то «более простое», изоморфное ему. Потом можно, и получится третье множество, которое называть фактормножеством не нужно.

RonHabard в сообщении #1038377 писал(а):

А то вчитываюсь в эти определения, делаю, как показывали, а выходит какая-то чушь.

Просто вы в каждом случае почему-то выбирали по одному представителю класса вместо самого класса, являющегося множеством. Вот давайте посмотрим на множество $\mathbb Z/{\sim}$, где $m\sim n:\Leftrightarrow m\equiv n \pmod3$, т. е. числа считаются эквивалентными, если дают одинаковый остаток при делении на 3. Класс эквивалентности $[0]$ будет равен $\{\ldots,-6,-3,0,3,6,\ldots\}$ — все числа, делащиеся на 3 нацело. Класс $[1] = \{\ldots,-5,-2,1,4,7,\ldots\}$. Класс $[2] = \{\ldots,-4,-1,2,5,8,\ldots\}$. Других классов не будет, т. к. остатков всего три. В результате

$$\mathbb Z/{\sim} = \{[n]_{\sim} : n\in\mathbb Z\} = \{[0],[1],[2]\} = \{\{\ldots,0,3,\ldots\},\{\ldots,1,4,\ldots\},\{\ldots,2,5,\ldots\}\}.$$

Ничего больше искать не нужно.
Вот в случае подобных множеств есть общепринятая функция $f\colon\mathbb Z/{\sim}\to\mathbb Z$, предъявляющая наименьший неотрицательный элемент класса эквивалентности, и сопоставляющая $[0]\mapsto 0,[1]\mapsto 1,[2]\mapsto 2$. Только если взять её композицию с канонической сюръекцией $n\mapsto[n]$, мы получим функцию $n\mapsto f([n])\colon\mathbb Z\to\mathbb Z$, которая есть банальный остаток от деления на 3. Но $\{0,1,2\}$, хоть и равномощно $\mathbb Z/{\sim}$, всё же не оно.

[RonHabard]

arseniiv, iancaple спасибо за подробные комментарии. Если вы не возражаете, то я хотел бы разобрать каждый номер по отдельности, а то сейчас у меня полная каша в голове.

Итак
1) Пусть задана пара действительных чисел $a,b \in \mathbb{R}$ и считается, что для них справедливо $a \sim b$, если $[a]=[b]$. Тогда все действительные числа разбиваются на классы эквивалентности — интервалы вида $[a;a+1), \; a \in \mathbb{Z}$. То есть между ними существует каноническая сюръекция множества $\mathbb{R}$ на фактормножество $\left\{ a \in \mathbb{Z}: [a;a+1) \right\}$

$$a \mapsto \left[ \left[a;a+1\right) \right]_{\sim}.$$

Если принимать до это момента рассуждения верными, то у меня вопрос в составлении канонической сюръекции. Скажите, вот, я заключаю в квадратные скобки полуинтервал [a;a+1). Получается, что рассматривается класс эквивалентности полуинтервала. Так можно? Мне изначально казалось, что класс здесь может быть только у действительного числа, то есть некого $[x]_\sim $ равное [a;a+1), где $a$ есть целая часть числа $x$.

[iancaple]

RonHabard в сообщении #1038488 писал(а):

классы эквивалентности — интервалы вида $[a;a+1), \; a \in \mathbb{Z}$.
...
фактормножество $\left\{ a \in \mathbb{Z}: [a;a+1) \right\}$

Вот первое утверждение правильно. А фактормножество, как множество этих классов - это та же формула, но в фигурных скобках,зачем переставили?
Значит, для каждого $x\in \mathbb{R}$ достаточно найти $a$, определяющее этот полуинтервал
, и вот для него формула $a=[x]$
Класс - это множество. В данной задаче класс- любой из указанных полуинтервалов. А выражение "класс эквивалентности полуинтервала"-ничего хорошего не означает

[RonHabard]

iancaple, спасибо, с первым разобрался. Теперь второй:

Рассмотрим подмножество пар чисел $(p,q), \; q \ne 0$ множества $\mathbb{Z}^2$, для которых считается справедливым утверждение $(p,q)\sim(p' q' ),$ если $pq'-p' q=0$. Поскольку семейство пар $(p,q), \; q \ne 0$, где при $pq'-p' q=0$ две пары $(p,q)$ и $(p',q')$ определяют одно и то же рациональное число, следовательно, классами эквивалентности будут являться пары вида $(p,q),q \in \mathbb{N}$. То есть можно задать каноническую сюръекцию множества $\mathbb{Z^2}$ на фактормножество $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_+ / \sim$
$$(p,q)↦[(p,q)]_\sim, \quad q \in \mathbb{N}.$$

[iancaple]

1. Множество $X$ это не $\mathbb Z^2$, а скорее $\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus 0)$
2.фактормножество...(это сами, все поправки уже сообщили arseniiv и я)
3.$\mathbb Q$
4....
5.$(p,q)\to \dfrac pq$

[ewert]

iancaple в сообщении #1038835 писал(а):

это не $\mathbb Z^2$, а скорее $\mathbb Z\times(\mathbb Z\setminus 0)$

, а ещё скорее $\mathbb Z\times\mathbb N$

[RonHabard]

iancaple, 1) но ведь я же обозначил $q \ne 0$. По-моему, это различное написание одного и того же. Однако если это ошибка, то я исправлю.

2)

arseniiv в сообщении #1038425 писал(а):

ожно и, действительно, так и делают, определяя $\mathbb Q$ как $\mathbb Z\times\mathbb Z^+/{\sim}$.

Я просто не стал вводить $\mathbb{Q}$. А Вы его ввели 3-им пунктом.

[iancaple]

Если Вы хотите сказать, что в 1-й строчке условия задачи 2 у Вас ошибка, тогда множество $X$, возможно, другое. Иначе - то, которое я имел в виду (неаккуратно написал). Этот вопрос надо сразу решить, так как при разных областях определения $X$ фактормножество, может , и не изменится, но сюръекция будет описываться по-разному.