шар катается по шару

[Oleg Zubelevich]

Еще одна совершенно элементарная и красивая неголономная задачка. Предлагается для раздела "механика" в курсе общей физики.



В невесомости (давным давно в далекой галактике) однородные шары катаются друг по другу без проскальзывания. Внешние силы на систему не действуют. Радиусы и массы шаров $R,r$ и $M,m$ соответственно. Описать движение системы.

Введем обозначения $A,B$ -- центры шаров; $P$ -- точка контакта; $J,j$ -- моменты инерции шаров относительно осей проходящих через их центры. $S$ -- центр масс системы, который будем считать неподвижным.
$\overline{T}$ -- сила с которой шар $M$ действует на шар $m$, $\overline{\omega}$ -- угловая скорость шара $m$; $\overline{\Omega}$ -- угловая скорость шара $M.$

Уравнения движения.

$$j\dot{\overline{\omega}}=[\overline{BP},\overline T],\quad m\dot{\overline v}_B=\overline T$$

$$J\dot{\overline{\Omega}}=[\overline{AP},-\overline T],\quad M\dot{\overline v}_A=-\overline T$$

И кинематика

$${\overline v}_A+[\overline{\Omega},\overline{AP}]={\overline v}_B+[\overline{\omega},\overline{BP}].$$

Исключим $T$ из первой пары уравнений:

$$j\dot{\overline{\omega}}=[\overline{BP},m\dot{\overline v}_B].\qquad (*)$$

Нам понадобятся следующие очевидные формулы

$$\overline {BP}=\frac{r(m+M)}{m(R+r)}\overline {SA},\quad \overline{AP}=-\frac{R(m+M)}{m(R+r)}\overline {SA},\quad {\overline v}_A=\dot{\overline {SA}},\quad {\overline v}_B=-\frac{M}{m}\dot{\overline{SA}}.$$

Подставляя это в (*) находим

$$j\dot{\overline{\omega}}=-a[\overline {SA},\ddot{\overline{SA}}],\quad a=\frac{Mr(m+M)}{m(R+r)}.$$

Последнее уравнение интегрируется:

$$j\overline{\omega}=-a[\overline {SA},\dot{\overline{SA}}]+j\overline \phi\qquad (**)$$

Вектор $\overline\phi$ является константой первого интеграла, он не зависит от времени и определяется из начальных данных.

Аналогично, вторая пара уравнений дает

$$J\overline\Omega=-b[\overline{SA},\dot{\overline{SA}}]+J\overline\Phi,\quad b=\frac{MR(m+M)}{m(R+r)}.\qquad(***)$$

$\overline\Phi$ -- еще один первый интеграл.

Выразим угловые скорости из формул (**)-(***) и подставим их в кинематическое уравнение, после преобразований получим ($(\overline{SA},\dot{\overline{SA}})=0$):

$$\dot{\overline{SA}}=[\overline w,\overline{SA}],\quad \overline w=c\overline \phi+C\overline\Phi,$$

где $c,C$ -- страшно громоздкие безразмерные константы, зависящие от $m,M,R,r,j,J$.

Таким образом, вектор $\overline{SA}$ движется так как будто он вморожен в твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной точки $S$ с постоянной угловой скоростью $\overline w$.

[Oleg Zubelevich]

$$s=\frac{1}{|AS|}=\frac{m+M}{m(R+r)},\quad c=\frac{rs}{1+\frac{M}{m}+\frac{MR^2}{J}+\frac{Mr^2}{j}},\quad C=\frac{Rs}{1+\frac{M}{m}+\frac{MR^2}{J}+\frac{Mr^2}{j}}.$$