2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 шар катается по шару
Сообщение18.07.2015, 14:52 


10/02/11
6786
Еще одна совершенно элементарная и красивая неголономная задачка. Предлагается для раздела "механика" в курсе общей физики.

Изображение

В невесомости (давным давно в далекой галактике) однородные шары катаются друг по другу без проскальзывания. Внешние силы на систему не действуют. Радиусы и массы шаров $R,r$ и $M,m$ соответственно. Описать движение системы.

Введем обозначения $A,B$ -- центры шаров; $P$ -- точка контакта; $J,j$ -- моменты инерции шаров относительно осей проходящих через их центры. $S$ -- центр масс системы, который будем считать неподвижным.
$\overline{T}$ -- сила с которой шар $M$ действует на шар $m$, $\overline{\omega}$ -- угловая скорость шара $m$; $\overline{\Omega}$ -- угловая скорость шара $M.$

Уравнения движения.
$$j\dot{\overline{\omega}}=[\overline{BP},\overline T],\quad m\dot{\overline v}_B=\overline T$$
$$J\dot{\overline{\Omega}}=[\overline{AP},-\overline T],\quad M\dot{\overline v}_A=-\overline T$$
И кинематика
$${\overline v}_A+[\overline{\Omega},\overline{AP}]={\overline v}_B+[\overline{\omega},\overline{BP}].$$Исключим $T$ из первой пары уравнений: $$j\dot{\overline{\omega}}=[\overline{BP},m\dot{\overline v}_B].\qquad (*)$$
Нам понадобятся следующие очевидные формулы
$$\overline {BP}=\frac{r(m+M)}{m(R+r)}\overline {SA},\quad \overline{AP}=-\frac{R(m+M)}{m(R+r)}\overline {SA},\quad {\overline v}_A=\dot{\overline {SA}},\quad {\overline v}_B=-\frac{M}{m}\dot{\overline{SA}}.$$
Подставляя это в (*) находим
$$j\dot{\overline{\omega}}=-a[\overline {SA},\ddot{\overline{SA}}],\quad a=\frac{Mr(m+M)}{m(R+r)}.$$
Последнее уравнение интегрируется:
$$j\overline{\omega}=-a[\overline {SA},\dot{\overline{SA}}]+j\overline \phi\qquad (**)$$
Вектор $\overline\phi$ является константой первого интеграла, он не зависит от времени и определяется из начальных данных.

Аналогично, вторая пара уравнений дает
$$J\overline\Omega=-b[\overline{SA},\dot{\overline{SA}}]+J\overline\Phi,\quad b=\frac{MR(m+M)}{m(R+r)}.\qquad(***)$$
$\overline\Phi$ -- еще один первый интеграл.

Выразим угловые скорости из формул (**)-(***) и подставим их в кинематическое уравнение, после преобразований получим ($(\overline{SA},\dot{\overline{SA}})=0$):
$$\dot{\overline{SA}}=[\overline w,\overline{SA}],\quad \overline w=c\overline \phi+C\overline\Phi,$$
где $c,C$ -- страшно громоздкие безразмерные константы, зависящие от $m,M,R,r,j,J$.

Таким образом, вектор $\overline{SA}$ движется так как будто он вморожен в твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной точки $S$ с постоянной угловой скоростью $\overline w$.

 Профиль  
                  
 
 Re: шар катается по шару
Сообщение18.07.2015, 21:10 


10/02/11
6786
$$s=\frac{1}{|AS|}=\frac{m+M}{m(R+r)},\quad c=\frac{rs}{1+\frac{M}{m}+\frac{MR^2}{J}+\frac{Mr^2}{j}},\quad C=\frac{Rs}{1+\frac{M}{m}+\frac{MR^2}{J}+\frac{Mr^2}{j}}.$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group